2016年大学入試センター試験数学2B第3問 ⑧最後まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第3問の最後までを解説します。

2016年2B第3問ここまでの記事→①問題の確認②[イ]まで③[ウエ]まで④[ス]まで⑤[タチ]まで⑥[ナ]まで⑦[ノ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第3問

 真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列

  1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,…

を{an}とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形解答する場合は、[解答上の注意]にあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1) a15=[ア]/[イ]である。また、分母に初めて8が現れる項は、a[ウエ]である。

(2) kを2以上の自然数とする。数列{an}において、1/kが初めて現れる項を第Mk項とし、(k-1)/kが初めて現れる項を第Nk項とすると

  Mk=([オ]/[カ])k^2-([キ]/[ク])k+[ケ]
  Nk=([コ]/[サ])k^2-([シ]/[ス])k

である。よって、a104=[セソ]/[タチ]である。

(3) kを2以上の自然数とする。数列{an}の第Mk項から第Nk項までの和は、([ツ]/[テ])k-[ト]/[ナ]である。したがって、数列{an}の初項から第Nk項までの和は

  ([ニ]/[ヌ])k^2-([ネ]/[ノ])k

である。よって

  Σ[n=1~103]an=[ハヒフ]/[ヘホ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして最後はΣ[n=1~103]anの値です。

⑤[タチ]までで、a104=13/15であることがわかっているので、a103=12/15です。また、a105=14/15です。

⑦[ノ]までで求めた和の式(1/4)k^2-(1/4)kは、分母が等しい項をまとめて「群」として扱い、第k群までの和を表しています。

a103を含むのは第15群で、第15群の最後はa105です。

ということは、第15群までの和から、a104とa105を引けば、a1からa103までの和を求めることができますね!

 Σ[n=1~103]an
=(1/4)×15^2-(1/4)×15-a104-a105
=(1/4)(15^2-15)-13/15-14/15
=(1/4)×210-27/15
=105/2-9/5
=525/10-18/10
=507/10

よって、[ハヒフ]=507,[ヘホ]=18


次の記事では、2016年数学2B第4問を解説します。

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