2016年大学入試センター試験数学2B第4問 ①問題の設定を確認

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第4問の問題の設定を確認します。


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第4問
              →     →   →
 四面体OABCにおいて、|OA|=3,|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また、辺OA上に点Pを
                  →  →  →  →  →  →
とり、辺BC上に点Qをとる。以下、OA=a,OB=b,OC=cとおく。

                             →  →
(1) 0≦s≦1,0≦t≦1であるような実数s,tを用いてOP=sa,
→      →  →    → → → →    → →
OQ=(1-t)b+tcと表す。a・b=a・c=[ア],b・c=[イ]である
ことから
   →
  |PQ|^2=([ウ]s-[エ])^2+([オ]t-[カ])^2+[キ]
           →
となる。したがって、|PQ|が最小となるのはs=[ク]/[ケ],t=[コ]/[サ]の
           →
ときであり、このとき|PQ|=√[シ]となる。

                  →
(2) 三角形ABCの重心をGとする。|PQ|=√[シ]のとき、三角形GPQの面積を求めよう。
  →  →
 OA・PQ=[ス]から、∠APQ=[セソ]°である。したがって、三角形APQの面積は√[タ]である。また
   →        →        →
  OG=([チ]/[ツ])OA+([テ]/[ト])OQ

であり、点Gは線分AQを[ナ]:1に内分する点である。

 以上のことから、三角形GPQの面積は√[ニ]/[ヌ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2016年も、数学2B第4問はベクトルの問題が出題されました。

ベクトルでは特に、実際に図を描く事が大切です。
文章だけを見て「全然わからない」と思っていた事も、ちゃんと図を描くと簡単に解決するかも知れませんよ!

              →     →   →
 四面体OABCにおいて、|OA|=3,|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また、辺OA上に点Pを
                  →  →  →  →  →  →
とり、辺BC上に点Qをとる。以下、OA=a,OB=b,OC=cとおく。

このように設定されています。
四面体OABCは、どの点が上でも下でも構いませんが、
三角形ABCを底面、Oを頂点とする四面体を描くのが標準的だと思います。

ベクトルの絶対値は、ベクトルの大きさ=辺の長さなので、OA=3,OB=OC=2を書き込みます。
∠AOB,∠BOC,∠COAの3つの角がともに60°だそうです。

これらの長さ、角度にも注意しながら図を描くのがおすすめです!


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