2016年大学入試センター試験数学2B第4問 ②[イ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第4問の[イ]までを解説します。

2016年2B第4問ここまでの記事→①問題の設定を確認


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第4問
              →     →   →
 四面体OABCにおいて、|OA|=3,|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また、辺OA上に点Pを
                  →  →  →  →  →  →
とり、辺BC上に点Qをとる。以下、OA=a,OB=b,OC=cとおく。

                             →  →
(1) 0≦s≦1,0≦t≦1であるような実数s,tを用いてOP=sa,
→      →  →    → → → →    → →
OQ=(1-t)b+tcと表す。a・b=a・c=[ア],b・c=[イ]である
ことから
   →
  |PQ|^2=([ウ]s-[エ])^2+([オ]t-[カ])^2+[キ]
           →
となる。したがって、|PQ|が最小となるのはs=[ク]/[ケ],t=[コ]/[サ]の
           →
ときであり、このとき|PQ|=√[シ]となる。

                  →
(2) 三角形ABCの重心をGとする。|PQ|=√[シ]のとき、三角形GPQの面積を求めよう。
  →  →
 OA・PQ=[ス]から、∠APQ=[セソ]°である。したがって、三角形APQの面積は√[タ]である。また
   →        →        →
  OG=([チ]/[ツ])OA+([テ]/[ト])OQ

であり、点Gは線分AQを[ナ]:1に内分する点である。

 以上のことから、三角形GPQの面積は√[ニ]/[ヌ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

では、まず最初の設問です。
→ → → →    → →
a・b=a・c=[ア],b・c=[イ]を聞いています。

これはベクトルの内積ですね。
内積は、つまりはベクトルのかけ算で、ベクトルは大きさだけでなく方向の情報ももつ数量なので、かけ算をするときには方向の情報も加味しなければいけません。
2つのベクトルのなす角をθとして、次のように計算します。

  → →  → →
★ a・b=|a||b|cosθ

「片方のベクトルをもう一方のベクトルに投影して掛ける」と理解できます。

まあ、とにかく「絶対値の積にコサインを掛ける」と覚えておけば大丈夫!

→ →  → →
a・b=|a||b|cos60°=3×2×(1/2)=3
a・c=|a||c|cos60°=3×2×(1/2)=3
b・c=|b||c|cos60°=2×2×(1/2)=2

よって、[ア]=3,[イ]=2


次の記事→③(1)の式の作り方

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