2016年大学入試センター試験数学2B第4問 ③(1)の式の作り方

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第4問の(1)の式の作り方を解説します。

2016年2B第4問ここまでの記事→①問題の設定を確認②[イ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第4問
              →     →   →
 四面体OABCにおいて、|OA|=3,|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また、辺OA上に点Pを
                  →  →  →  →  →  →
とり、辺BC上に点Qをとる。以下、OA=a,OB=b,OC=cとおく。

                             →  →
(1) 0≦s≦1,0≦t≦1であるような実数s,tを用いてOP=sa,
→      →  →    → → → →    → →
OQ=(1-t)b+tcと表す。a・b=a・c=[ア],b・c=[イ]である
ことから
   →
  |PQ|^2=([ウ]s-[エ])^2+([オ]t-[カ])^2+[キ]
           →
となる。したがって、|PQ|が最小となるのはs=[ク]/[ケ],t=[コ]/[サ]の
           →
ときであり、このとき|PQ|=√[シ]となる。

                  →
(2) 三角形ABCの重心をGとする。|PQ|=√[シ]のとき、三角形GPQの面積を求めよう。
  →  →
 OA・PQ=[ス]から、∠APQ=[セソ]°である。したがって、三角形APQの面積は√[タ]である。また
   →        →        →
  OG=([チ]/[ツ])OA+([テ]/[ト])OQ

であり、点Gは線分AQを[ナ]:1に内分する点である。

 以上のことから、三角形GPQの面積は√[ニ]/[ヌ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

   →
次は|PQ|^2の値です。
      →   →  →      →  →
問題文で、OP=sa,OQ=(1-t)b+tcとおいています。
           →  →  →
ベクトルの差より、★PQ=OQ-OPなので、単純にコレを2乗すればOK!
 →    →  →
|PQ|^2=|OQ-OP|^2
       →      →  →
    =|sa-{(1-t)b+tc}|^2
         →         →      →
    =s^2・|a|^2+(1-t)^2・|b|^2+t^2・|c|^2
          →     →      →  →   →  →
       -2sa・(1-t)b+2(1-t)b・tc-2sa・tc

・・・このように複雑な式になると、「え?ほんとに大丈夫なの?」と疑念を持ってやめてしまう人がいます。

確かに不安になるのはわかります。
そんなときは、ここまでやったことを点検して、何かおかしい点はないか考えてください。点検してもおかしい点がなく、やるべき事が論理的に正しいならば、最後までやり切れば、必ず正解にたどり着きます。

ここから式を簡単にするにはどうすればいいか考えみてください。


次の記事では、この式を簡単にして、[キ]までの解答・解説をします。

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