2016年大学入試センター試験数学2B第4問 ④[キ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第4問の[キ]までを解説します。

2016年2B第4問ここまでの記事→①問題の設定を確認②[イ]まで③(1)の式の作り方


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第4問
              →     →   →
 四面体OABCにおいて、|OA|=3,|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また、辺OA上に点Pを
                  →  →  →  →  →  →
とり、辺BC上に点Qをとる。以下、OA=a,OB=b,OC=cとおく。

                             →  →
(1) 0≦s≦1,0≦t≦1であるような実数s,tを用いてOP=sa,
→      →  →    → → → →    → →
OQ=(1-t)b+tcと表す。a・b=a・c=[ア],b・c=[イ]である
ことから
   →
  |PQ|^2=([ウ]s-[エ])^2+([オ]t-[カ])^2+[キ]
           →
となる。したがって、|PQ|が最小となるのはs=[ク]/[ケ],t=[コ]/[サ]の
           →
ときであり、このとき|PQ|=√[シ]となる。

                  →
(2) 三角形ABCの重心をGとする。|PQ|=√[シ]のとき、三角形GPQの面積を求めよう。
  →  →
 OA・PQ=[ス]から、∠APQ=[セソ]°である。したがって、三角形APQの面積は√[タ]である。また
   →        →        →
  OG=([チ]/[ツ])OA+([テ]/[ト])OQ

であり、点Gは線分AQを[ナ]:1に内分する点である。

 以上のことから、三角形GPQの面積は√[ニ]/[ヌ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

前回の記事では、とりあえず式を作るところまで解説しました。
この記事では、その式を変形して、[キ]までの解答を求めます。

         →         →      →
    =s^2・|a|^2+(1-t)^2・|b|^2+t^2・|c|^2
          →     →      →  →   →  →
       -2sa・(1-t)b+2(1-t)b・tc-2sa・tc

この式をよく見てみると、a,b,c単独のところは2乗になっています。
後半は、順番を変えれば全て内積になります。
         →         →      →
    =s^2・|a|^2+(1-t)^2・|b|^2+t^2・|c|^2
              → →       → →    → →
       -2s(1-t)a・b+2t(1-t)b・c-2sta・c

このようになりますね。
→    →  →    → →   → →   → →
|a|=3,|b|=|c|=2,a・b=3,a・b=3,b・c=2を代入すればベクトルの部分が全て数字に変わってしまいます。やってみましょう!

    =9s^2+4(1-t)^2+4t^2
           -2・3s(1-t)+2・2t(1-t)-2・3st
    =9s^2+4(1-2t+t^2)+4t^2
           -6s+6st+4t-4t^2-6st
    =9s^2+4-8t+4t^2+4t^2-6s+4t-4t^2
    =9s^2-6s+4t^2-4t+4

ここで解答の形式を確認してみると、sもtも( )^2の中に入っています。
つまり、平方完成すれば良いです。

    =(9s^2-6s+1)-1+(4t^2-4t+1)-1+4
    =(3s-1)^2+(2t-1)^2+2

これで解答の形式と一致しましたね!

よって、[ウ]=3,[エ]=1,[オ]=2,[カ]=1,[キ]=2


次の記事→⑤[シ]まで

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