2016年2B第4問ここまでの記事→①問題の設定を確認、②[イ]まで、③(1)の式の作り方、④[キ]まで、⑤[シ]まで、⑥[セソ]まで
■ 問題
2016年センター試験数2Bより
第4問
→ → →
四面体OABCにおいて、|OA|=3,|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また、辺OA上に点Pを
→ → → → → →
とり、辺BC上に点Qをとる。以下、OA=a,OB=b,OC=cとおく。
→ →
(1) 0≦s≦1,0≦t≦1であるような実数s,tを用いてOP=sa,
→ → → → → → → → →
OQ=(1-t)b+tcと表す。a・b=a・c=[ア],b・c=[イ]である
ことから
→
|PQ|^2=([ウ]s-[エ])^2+([オ]t-[カ])^2+[キ]
→
となる。したがって、|PQ|が最小となるのはs=[ク]/[ケ],t=[コ]/[サ]の
→
ときであり、このとき|PQ|=√[シ]となる。
→
(2) 三角形ABCの重心をGとする。|PQ|=√[シ]のとき、三角形GPQの面積を求めよう。
→ →
OA・PQ=[ス]から、∠APQ=[セソ]°である。したがって、三角形APQの面積は√[タ]である。また
→ → →
OG=([チ]/[ツ])OA+([テ]/[ト])OQ
であり、点Gは線分AQを[ナ]:1に内分する点である。
以上のことから、三角形GPQの面積は√[ニ]/[ヌ]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。
■ 解説
∠APQ=90°なので、△APQ=(1/2)AP・PQです。
そして、前回の記事⑥[セソ]までで確認したように、PはOAを1:2に内分する点で、QはBCの中点です。
OA=3なので、AP=2となります。
また、⑤[シ]までで求めたように、PQ=√2です。
これらを△APQ=(1/2)AP・PQに代入すると、
△APQ=(1/2)×2×√2
=√2
よって、[タ]=2
次の記事→⑧[ナ]まで
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