2016年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問 ⑦[タ]まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問の[タ]までを解説します。

2016年２Ｂ第４問ここまでの記事→①問題の設定を確認、②[イ]まで、③(1)の式の作り方、④[キ]まで、⑤[シ]まで、⑥[セソ]まで


■　問題

2016年センター試験数２Ｂより

第４問
　　　　　　　　　　　　　　→　　　　　→　　　→
　四面体ＯＡＢＣにおいて、|ＯＡ|＝３，|ＯＢ|＝|ＯＣ|＝２，
∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝６０°であるとする。また、辺ＯＡ上に点Ｐを
　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 →
とり、辺ＢＣ上に点Ｑをとる。以下、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとおく。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　　→
(1) ０≦ｓ≦１，０≦ｔ≦１であるような実数ｓ，ｔを用いてＯＰ＝ｓａ，
→　　　　　 →　　→　　　　→　→　→　→　　　　→　→
ＯＱ＝(１－ｔ)ｂ＋ｔｃと表す。ａ・ｂ＝ａ・ｃ＝[ア]，ｂ・ｃ＝[イ]である
ことから
　　　→
　　|ＰＱ|^2＝([ウ]ｓ－[エ])^2＋([オ]ｔ－[カ])^2＋[キ]
　　　　　　　　　　　→
となる。したがって、|ＰＱ|が最小となるのはｓ＝[ク]／[ケ]，ｔ＝[コ]／[サ]の
　　　　　　　　　　　→
ときであり、このとき|ＰＱ|＝√[シ]となる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　→
(2) 三角形ＡＢＣの重心をＧとする。|ＰＱ|＝√[シ]のとき、三角形ＧＰＱの面積を求めよう。
　 →　　→
　ＯＡ・ＰＱ＝[ス]から、∠ＡＰＱ＝[セソ]°である。したがって、三角形ＡＰＱの面積は√[タ]である。また
　　 →　　　　　　　　→　　　　　　　　→
　　ＯＧ＝([チ]／[ツ])ＯＡ＋([テ]／[ト])ＯＱ

であり、点Ｇは線分ＡＱを[ナ]：１に内分する点である。

　以上のことから、三角形ＧＰＱの面積は√[ニ]／[ヌ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■　解説

∠ＡＰＱ＝９０°なので、△ＡＰＱ＝(１／２)ＡＰ・ＰＱです。

そして、前回の記事⑥[セソ]までで確認したように、ＰはＯＡを１：２に内分する点で、ＱはＢＣの中点です。
ＯＡ＝３なので、ＡＰ＝２となります。

また、⑤[シ]までで求めたように、ＰＱ＝√２です。

これらを△ＡＰＱ＝(１／２)ＡＰ・ＰＱに代入すると、

△ＡＰＱ＝(１／２)×２×√２
　　　　＝√２

よって、[タ]＝２


次の記事→⑧[ナ]まで

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