2016年大学入試センター試験数学2B第4問 ⑨最後まで

この記事では、2016年大学入試センター試験数学2B第4問の最後までを解説します。

2016年2B第4問ここまでの記事→①問題の設定を確認②[イ]まで③(1)の式の作り方④[キ]まで⑤[シ]まで⑥[セソ]まで⑦[タ]まで⑧[ナ]まで


■ 問題

2016年センター試験数2Bより

第4問
              →     →   →
 四面体OABCにおいて、|OA|=3,|OB|=|OC|=2,
∠AOB=∠BOC=∠COA=60°であるとする。また、辺OA上に点Pを
                  →  →  →  →  →  →
とり、辺BC上に点Qをとる。以下、OA=a,OB=b,OC=cとおく。

                             →  →
(1) 0≦s≦1,0≦t≦1であるような実数s,tを用いてOP=sa,
→      →  →    → → → →    → →
OQ=(1-t)b+tcと表す。a・b=a・c=[ア],b・c=[イ]である
ことから
   →
  |PQ|^2=([ウ]s-[エ])^2+([オ]t-[カ])^2+[キ]
           →
となる。したがって、|PQ|が最小となるのはs=[ク]/[ケ],t=[コ]/[サ]の
           →
ときであり、このとき|PQ|=√[シ]となる。

                  →
(2) 三角形ABCの重心をGとする。|PQ|=√[シ]のとき、三角形GPQの面積を求めよう。
  →  →
 OA・PQ=[ス]から、∠APQ=[セソ]°である。したがって、三角形APQの面積は√[タ]である。また
   →        →        →
  OG=([チ]/[ツ])OA+([テ]/[ト])OQ

であり、点Gは線分AQを[ナ]:1に内分する点である。

 以上のことから、三角形GPQの面積は√[ニ]/[ヌ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

そして最後は三角形GPQの面積について考えます。

三角形GPQは三角形APQの一部です。

⑧[ナ]までで求めたように、「点Gは線分AQを2:1に内分する点」ですね。

底辺を直線AQと考えれば、底辺が同一直線上にあり、頂点は共通なので、底辺の長さの比がそのまま面積の比になります。

AQ:GQ=3:1なので、△APQ:△GPQ=3:1です。

△APQ=√2なので、

√2:△GPQ=3:1
  3△GPQ=√2
   △GPQ=√2/3

よって、[ニ]=2,[ヌ]=3


次の記事→⑩解答一覧と公式・性質

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