2018年大学入試センター試験数学2B第2問[1] ①微分の基本

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第2問[1]に関して、微分の基本を解説します。





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学



■ 問題

2018年センター試験数2Bより

第2問

[ 1 ] p>0とする。座標平面上の放物線y=px^2+qx+rをCとし、直線y=2x-1をlとする。Cは点A(1,1)においてlと接しているとする。

(1) qとrを、pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線lの傾きは[ア]であることから、q=[イウ]p+[エ]がわかる。さらに、Cは点Aを通ることから、r=p-[オ]となる。

(2) v>1とする。放物線Cと直線lおよび直線x=vで囲まれた図形の面積SはS=(p/[カ])(v^3-[キ]v^2+[ク]v-[ケ])である。

また、x軸とlおよび2直線x=1,x=vで囲まれた図形の面積Tは、T=v^[コ]-vである。

 U=S-Tはv=2で極値をとるとする。このとき、p=[サ]であり、v>1の範囲でU=0となるvの値をv0とすると、v0=([シ]+√[ス])/[セ]である。1<v<v0の範囲でUは[ソ]。

[ソ]に当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから一つ選べ。

{0} つねに増加する  {1} つねに減少する  {2} 正の値のみをとる
{3} 負の値のみをとる  {4} 正と負のどちらの値もとる

p=[サ]のとき、v>1におけるUの最小値は[タチ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2018年数学2B第2問は、微分積分が主なポイントになっています。
まずは、微分に関する基本的な用語と方法について確認しておきましょう!

まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。

★ y=x^nならば、y'=nx^(n-1)

この微分してできた関数y'が導関数ですね。

また、★定数を微分すると0になります。

そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる2次関数や3次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。

つまり、ある特定の場所の接線の傾きを求めたかったら、導関数にその点のx座標を代入すればよいのです。
そして、そのy'の値を「微分係数」といいます。

さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分!とイメージしておくとよいです。


次に極値について確認しておきましょう。

曲線のグラフを描いてみると、線が山のようになったり谷のようになったりする部分ができることがあります。

この山や谷の部分のyの値を「極値」と呼びます。
関数は、極値のところを境に増加から減少に、または、減少から増加に転じます。
つまり、極値を境に接線の傾きの符号が変わるのです。

ということは、★「極値のときの導関数の値(=微分係数)は0」になる。と言えます。

そして、この極値が、その周辺より大きいとき(山)が「極大値」で、周辺より小さいとき(谷)が「極小値」です。

数学2の微分積分のメインとなる3次関数では、この極大極小がとても重要です。


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