2018年大学入試センター試験数学2B第2問[1] ⑤[オ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第2問[1]の[オ]までを解説します。

2018年センター数学2B第2問[1]ここまでの記事→①微分の基本②問題の設定を確認③[ア]まで④[エ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数2Bより

第2問

[ 1 ] p>0とする。座標平面上の放物線y=px^2+qx+rをCとし、直線y=2x-1をlとする。Cは点A(1,1)においてlと接しているとする。

(1) qとrを、pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線lの傾きは[ア]であることから、q=[イウ]p+[エ]がわかる。さらに、Cは点Aを通ることから、r=p-[オ]となる。

(2) v>1とする。放物線Cと直線lおよび直線x=vで囲まれた図形の面積SはS=(p/[カ])(v^3-[キ]v^2+[ク]v-[ケ])である。

また、x軸とlおよび2直線x=1,x=vで囲まれた図形の面積Tは、T=v^[コ]-vである。

 U=S-Tはv=2で極値をとるとする。このとき、p=[サ]であり、v>1の範囲でU=0となるvの値をv0とすると、v0=([シ]+√[ス])/[セ]である。1<v<v0の範囲でUは[ソ]。

[ソ]に当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから一つ選べ。

{0} つねに増加する  {1} つねに減少する  {2} 正の値のみをとる
{3} 負の値のみをとる  {4} 正と負のどちらの値もとる

p=[サ]のとき、v>1におけるUの最小値は[タチ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

「Cは点Aを通る」とあるので、点Aの座標はCに代入できます。

C:y=px^2+qx+rにA(1,1)を代入して、

1=p+q+r

このような式ができました。

目標の形は「r=p-[オ]」です。
よく見ると(よく見なくても)、qがなくなっていますね。
つまり、何らかの方法でqを消去する必要があります。どうすればいいでしょうか?

④[エ]までで、q=-2p+2を求めたので、代入してみればOKですね!

1=p+(-2p+2)+r

これをrについて解きます。

 1=-p+2+r
-r=-p+2-1
-r=-p+1
 r=p-1

よって、[オ]=1


次の記事→⑥[ケ]まで

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