2018年大学入試センター試験数学1A第2問[2] ⑤(2)の文字と図

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第2問[2]の(2)の文字と図について解説します。


2018年大学入試センター試験数学1A第2問[2]ここまでの記事→①データの分析の用語②(1)最初の選択肢③[シ]まで④(2)最初の選択肢





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第2問

[2] ある陸上大会に出場した選手の身長(単位はcm)と体重(単位はkg)のデータが得られた。男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループに分けると、それぞれのグループの選手数は、男子短距離が328人、男子長距離が271人、女子短距離が319人、女子長距離が263人である。

(1) 次ページの図1および図2は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループにおける、身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である。
 次の[サ]、[シ]に当てはまるものを、下の{0}~{6}のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 図1および図2から読み取れる内容として正しいものは、[サ]、[シ]である。

{0} 四つのグループのうちで範囲が大きいのは、女子短距離グループである。
{1} 四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。
{2} 男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入っている。
{3} 女子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に第1四分位数が入っている。
{4} すべての選手の中で最も身長の高い選手は、男子長距離グループの中にいる。
{5} すべての選手の中で最も身長の低い選手は、女子長距離グループの中にいる。
{6} 男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第3四分位数は、ともに180以上182未満である。

図1,図2

(2) 身長をH,体重をWとし、XをX=(H/100)^2で、ZをZ=W/Xで定義する。次ページの図3は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループにおけるXとWのデータの散布図である。ただし、原点を通り、傾きが15, 20, 25, 30である四つの直線l1, l2, l3, l4も補助的に描いている。また、次ページの図4の(a), (b), (c), (d)で示すZの四つの箱ひげ図は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループのいずれかの箱ひげ図に対応している。
 次の[ス],[セ]に当てはまるものを、下の{0}~{5}のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 図3および図4から読み取れる内容として正しいものは、[ス],[セ]である。

{0} 四つのグループのすべてにおいて、XとWには負の相関がある。
{1} 四つのクループのうちでZの中央値が一番大きいのは、男子長距離グループである。
{2} 四つのグループのうちでZの範囲が最小なのは、男子長距離グループである。
{3} 四つのグループのうちでZの四分位範囲が最小なのは、男子短距離グループである。
{4} 女子長距離グループのすべてのZの値は25より小さい。
{5} 男子長距離グループのZの箱ひげ図は(c)である。

図3,図4
図3,図4

(3) nを自然数とする。実数値のデータx1, x2, …, xnおよびw1, w2, …, wnに対して、それぞれの平均値を
  _              _
  x=(x1+x2+…+xn)/n,w=(w1+w2+…+wn)/n
                _  __
とおく。等式(x1+x2+…+xn)w=nxwなどに注意すると、偏差の積の和は
     _    _     _    _       _    _
  (x1-x)(w1-w)+(x2-x)(w2-w)+…+(xn-x)(wn-w)
 =x1w1+x2w2+…+xnwn-[ソ]

となることがわかる。[ソ]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。
  __     __       __       __
{0} xw  {1} (xw)^2  {2} nxw  {3} n^2・xw


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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四分位数、分散など、データの分析の様々な論点が、効率的に整理できると好評です。



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



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■ 解説

次は(2)です。


(2) 身長をH,体重をWとし、XをX=(H/100)^2で、ZをZ=W/Xで定義する。次ページの図3は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループにおけるXとWのデータの散布図である。ただし、原点を通り、傾きが15, 20, 25, 30である四つの直線l1, l2, l3, l4も補助的に描いている。また、次ページの図4の(a), (b), (c), (d)で示すZの四つの箱ひげ図は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループのいずれかの箱ひげ図に対応している。


このような設定で、図3,図4と矛盾がない選択肢を2つ選ぶ問題となっています。

前の記事では、0番の選択肢を検討してみました。

次の選択肢を検討する前に、それぞれの文字の意味を確認しておきましょう!

まずWは体重ですね。

Xは、X=(H/100)^2の式で表されています。
Hは身長cmなので、H/100はメートルで表した身長です。
つまり、Xは身長の2乗というイメージで大丈夫です。

そしてZは、W/Xで表されます。
つまり、体重を身長の2乗で割ったものです。太っているか痩せているかを判断する基準の一つですね。

散布図では、横軸にX,縦軸にWを取ってあるので、上に行くほど体重が重く、右に行くほど身長が高いことがわかります。

l1~l4の直線は、この散布図上に描かれた、傾きが15~30の直線です。
傾きは縦/横、Z=W/Xなので、直線の傾きがZの値を示していると考えることができます。

男子短距離は概ねl2~l4の間にデータが集まっているので最大値は約30。さらにデータの多くがl2とl3の間にあるので、中央値は20と25の間と考えられます。
これに当てはまる箱ひげ図は(a)ですね。

男子長距離はl2付近に多くのデータが集まっているので中央値は20程度。
l4付近にも小数のデータがあるので最大値は30弱と考えられます。
これに当てはまる箱ひげ図は(c)ですね。

女子短距離もl2付近に多くのデータが集まっていますが、最大値はl3とl4の間くらいで最小値はl1付近です。
これに当てはまる箱ひげ図は(b)ですね。

女子長距離はl1とl2の間に多くのデータが集まっています。
この特徴に合うのは(d)ですね。


次の記事では、これらを踏まえて、それぞれの選択肢を検討していきます。


次の記事→⑥[セ]まで

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