2018年センター数学2B第2問[2] ②問題の設定を確認

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第2問[2]の問題の設定を確認します。

2018年大学入試センター試験数学2B第2問[2]ここまでの記事→①積分の基本





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数2Bより

第2問

[ 2 ] 関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき、曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1,x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tがt>1の範囲を動くとき、Wは、底辺の長さが2t^2-2,他の2辺の長さがそれぞれt^2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、x>1におけるf(x)を求めよう。

 F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に、F'(x)=[ツ],W=[テ]が成り立つ。[ツ],[テ]に当てはまるものを、次の{0}~{8}のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

{0} -F(t)  {1} F(t)  {2} F(t)-F(1)
{3} F(t)+F(1)  {4} -F(t)+F(1)  {5} -F(t)-F(1)
{6} -f(x)  {7} f(x)  {8} f(x)-f(1)

したがって、t>1において

  f(t)=[トナ]t^[ニ]+[ヌ]

である。よって、x>1におけるf(x)がわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

数学3の微分の書籍です。数学2の微積にも活用できる部分があります。



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

では今回の問題です。まずはどんな設定かよく確認しましょう!


[ 2 ] 関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき、曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1,x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tがt>1の範囲を動くとき、Wは、底辺の長さが2t^2-2,他の2辺の長さがそれぞれt^2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、x>1におけるf(x)を求めよう。


関数f(x)が与えられています。

このf(x)は、「x≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たす」そうです。
さらに、t>1でx=tという直線と、x=1という直線を考えます。

これらのグラフとx軸とで囲まれた図形の面積をWとしています。

つまりこれは・・・
1からtの区間でのf(x)の定積分の値とほとんど同じですね。

さらに、このWは、「底辺の長さが2t^2-2,他の2辺の長さがそれぞれt^2+1の二等辺三角形の面積と常に等しい」と定められています。

まとめると、

Wはxの関数で表されていて、そのWはtの式で表される二等辺三角形の面積と同じになる。というわけです。


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