2018年センター数学2B第2問[2] ④二等辺三角形の面積

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第2問[2]の二等辺三角形の面積を表します。

2018年大学入試センター試験数学2B第2問[2]ここまでの記事→①積分の基本②問題の設定を確認③[テ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数2Bより

第2問

[ 2 ] 関数f(x)はx≧1の範囲でつねにf(x)≦0を満たすとする。t>1のとき、曲線y=f(x)とx軸および2直線x=1,x=tで囲まれた図形の面積をWとする。tがt>1の範囲を動くとき、Wは、底辺の長さが2t^2-2,他の2辺の長さがそれぞれt^2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、x>1におけるf(x)を求めよう。

 F(x)をf(x)の不定積分とする。一般に、F'(x)=[ツ],W=[テ]が成り立つ。[ツ],[テ]に当てはまるものを、次の{0}~{8}のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

{0} -F(t)  {1} F(t)  {2} F(t)-F(1)
{3} F(t)+F(1)  {4} -F(t)+F(1)  {5} -F(t)-F(1)
{6} -f(x)  {7} f(x)  {8} f(x)-f(1)

したがって、t>1において

  f(t)=[トナ]t^[ニ]+[ヌ]

である。よって、x>1におけるf(x)がわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

数学3の微分の書籍です。数学2の微積にも活用できる部分があります。



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

最後は、ここまでわかったことを利用して、f(t)の値を求めます。

③[テ]までで求めたように、F'(x)=f(x),W=-F(t)+F(1)なので、Wを式で表すことができれば、f(t)もわかる。と考えられます。

Wの条件を改めて確認すると、

「Wは、底辺の長さが2t^2-2,他の2辺の長さがそれぞれt^2+1の二等辺三角形の面積とつねに等しい」

とあります。

★二等辺三角形は、頂点から底辺に垂線を下ろすと底辺を二等分するという性質があるので、Wと等しい二等辺三角形の高さを出すことができます。

まず底辺を二等分して(2t^2-2)÷2=t^2-1

垂線は二等辺三角形を合同な2つの直角三角形に分けるので、三平方の定理を用いて、

高さ=√{(t^2+1)^2-(t^2-1)^2}
  =√(t^4+2t^2+1-t^4+2t^2-1)
  =√(4t^2)
  =2t

よって、二等辺三角形の高さは2tであることがわかりました。

高さは2t,底辺が2t^2-2なので面積は、

2t×(2t^2-2)÷2=2t^3-2t

ですね!


次の記事では最後までの解説を掲載します。


トップページ


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html

vol.367の記事を分割してお送りしています。
1回にまとめてご覧になりたい方は、該当する回を含む月のバックナンバーをご購入ください。


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
 かかる費用は授業料と教材費(定価)のみ!生徒募集中です!

プロ家庭教師の江間です。     AE個別学習室
http://www.a-ema.com/k/      http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

この記事へのコメント