2018年センター数学2B第3問 ①数列の基本的な用語・公式

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第3問に関して、数列の基本的な用語・公式を解説します。





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学



■ 問題

2018年大学入試センター試験数学2Bより

第3問

 第4項が30,初項から第8項までの和が288である等差数列を{an}とし、{an}の初項から第n項までの和をSnとする。また、第2項が36,初項から第3項までの和が156である等比数列で公比が1より大きいものを{bn}とし、{bn}の初項から第n項までの和をTnとする。

(1) {an}の初項は[アイ],公差は[ウエ]であり

  Sn=[オ]n^2-[カキ]n

である。

(2) {bn}の初項は[クケ],公比は[コ]であり

  Tn=[サ]([シ]^n-[ス])

である。

(3) 数列{cn}を次のように定義する。

 cn=Σ[k=1~n](n-k+1)(ak-bk)
   =n(a1-b1)+(n-1)(a2-b2)+…+2(an-1-bn-1)+(an-bn)
   (n=1,2,3,…)

たとえば

  c1=a1-b1,c2=2(a1-b1)+(a2-b2)
  c3=3(a1-b1)+2(a2-b2)+(a3-b3)

である。数列{cn}の一般項を求めよう。

 {cn}の階差数列を{dn}とする。dn=cn+1-cnであるから、dn=[セ]を満たす。[セ]に当てはまるものを、次の{0}~{7}のうちから一つ選べ。

{0} Sn+Tn  {1} Sn-Tn  {2} -Sn+Tn
{3} -Sn-Tn  {4} Sn+1+Tn+1  {5} Sn+1-Tn+1
{6} -Sn+1+Tn+1  {7} -Sn+1-Tn+1

したがって、(1)と(2)により

  dn=[ソ]n^2-2・[タ]^(n+[チ])

である。c1=[ツテト]であるから、{cn}の一般項は

  cn=[ナ]n^3-[ニ]n^2+n+[ヌ]-[タ]^(n+[ネ])

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2018年も、数学2B第3問は、数列についての問題でした。
まずは、数列に関する基本的な用語と公式について確認しておきましょう!

初項a・・・数列の最初の項
末項l・・・数列の最後の項→結局n項目になることが多い
公差d・・・等差数列の2項間の差→次の項にいく度に公差の値を足す
公比r・・・等比数列の2項間の比→次の項にいく度に公比の値を掛ける
一般項an・・・数列を一般的に数式で表したもの→n項目の式
和Sn・・・初項から末項(an)までの合計
等差数列・・・次の項にいく度に一定の数を足す数列
等比数列・・・次の項にいく度に一定の数を掛ける数列

まずは数列の基本的な用語をズラッと書いてみました。
今回の問題では使わないものもありますが、大学受験生としては全部基本的な用語です。あやしいものがあった人は、まずはこの説明を覚えてください。
定義や意味をしっかり理解することが、思考力の基礎になるのです!

そして、等差数列と等比数列の式は以下のようになります。

等差数列
一般項an=a+(n-1)d=l(末項)
和Sn=n(a+l)/2=n{2a+(n-1)d}/2

等比数列
一般項an=ar^(n-1)
和Sn={a(r^n-1)}/(r-1)={a(1-r^n)}/(1-r)


次の記事からは、実際の2018年の問題を解説します。

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