2018年センター数学2B第3問 ⑥[セ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学2B第3問の[セ]までを解説します。

2018年大学入試センター試験数学2B第3問ここまでの記事→①数列の用語・公式②(1)の式の作り方③[カキ]まで④{bn}の式の作り方⑤[ス]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年大学入試センター試験数学2Bより

第3問

 第4項が30,初項から第8項までの和が288である等差数列を{an}とし、{an}の初項から第n項までの和をSnとする。また、第2項が36,初項から第3項までの和が156である等比数列で公比が1より大きいものを{bn}とし、{bn}の初項から第n項までの和をTnとする。

(1) {an}の初項は[アイ],公差は[ウエ]であり

  Sn=[オ]n^2-[カキ]n

である。

(2) {bn}の初項は[クケ],公比は[コ]であり

  Tn=[サ]([シ]^n-[ス])

である。

(3) 数列{cn}を次のように定義する。

 cn=Σ[k=1~n](n-k+1)(ak-bk)
   =n(a1-b1)+(n-1)(a2-b2)+…+2(an-1-bn-1)+(an-bn)
   (n=1,2,3,…)

たとえば

  c1=a1-b1,c2=2(a1-b1)+(a2-b2)
  c3=3(a1-b1)+2(a2-b2)+(a3-b3)

である。数列{cn}の一般項を求めよう。

 {cn}の階差数列を{dn}とする。dn=cn+1-cnであるから、dn=[セ]を満たす。[セ]に当てはまるものを、次の{0}~{7}のうちから一つ選べ。

{0} Sn+Tn  {1} Sn-Tn  {2} -Sn+Tn
{3} -Sn-Tn  {4} Sn+1+Tn+1  {5} Sn+1-Tn+1
{6} -Sn+1+Tn+1  {7} -Sn+1-Tn+1

したがって、(1)と(2)により

  dn=[ソ]n^2-2・[タ]^(n+[チ])

である。c1=[ツテト]であるから、{cn}の一般項は

  cn=[ナ]n^3-[ニ]n^2+n+[ヌ]-[タ]^(n+[ネ])

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次は(3)です。
(3)では{cn}が登場します。

 cn=Σ[k=1~n](n-k+1)(ak-bk)
   =n(a1-b1)+(n-1)(a2-b2)+…+2(an-1-bn-1)+(an-bn)

このように定義されています。
そして、この具体例が次のように挙げられています。

  c1=a1-b1,c2=2(a1-b1)+(a2-b2)
  c3=3(a1-b1)+2(a2-b2)+(a3-b3)

このようなcnの一般項を求める問題です。

このために、問題の誘導では、{cn}の階差数列を{dn}として、まずはdnを表すことを目指しています。


dnはcnの階差数列なので、dn=cn+1-cnですね。
このように表されると、特別な解き方があるのではないか?と考えて、行き先不明になってしまう人も多いと思いますが、とにかく「言ってる通りにやる」のが大切です。やってみましょう!

cn=n(a1-b1)+(n-1)(a2-b2)+…+2(an-1-bn-1)+1(an-bn)
cn+1=(n+1)(a1-b1)+n(a2-b2)+…+2(an-bn)+1(an+1-bn+1)

だから、dn=cn+1-cnは・・・

dn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-1-bn-1)+(an-bn)+(an+1-bn+1)

aはaで、bはbでまとめると次のようになります。

  =a1+a2+…+an-1+an+an+1-(b1+b2+…+bn-1+bn+bn+1)

a1+a2+…+an-1+an+an+1は、anの初項から第n+1項目までの和ですね。
つまり、Sn+1です。

b1+b2+…+bn-1+bn+bn+1も同様に考えれば、Tn+1です。

ということは、dn=Sn+1-Tn+1なので、5番が正解となります。

よって、[セ]=5


次の記事→⑦dnの式の作り方

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