2015年センター数学1A第1問 ②平方完成のやり方

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第1問に関して、平方完成のやり方を解説します。


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★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第1問

 2次関数

   y=-x^2+2x+2・・・①

のグラフの頂点の座標は([ ア ],[ イ ])である。また

   y=f(x)

はxの2次関数で、そのグラフは①のグラフをx軸方向にp,y軸方向にqだけ
平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ ウ ],[ オ ]には、次の{0}~{4}のうちから当てはまるものを一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

{0} >  {1} <  {2} ≧  {3} ≦  {4} ≠

 2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ ウ ][ エ ]

であり、最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ オ ][ カ ]

である。

(2) 2次不等式f(x)>0の解が-2<x<3になるのは

   p=[キク]/[ケ],q=[コサ]/[シ]

のときである。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

最大最小やx軸との位置関係など、2次関数の代表的な論点が、選択肢を選びながら読み進めるだけで習得できます!



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

2次関数の問題では、必ずと言っていいほど頂点の座標を利用します。
頂点と平方完成は即座に結びつくよう練習しておかなければいけません。
ここではまず、平方完成の意味とイメージを解説しておきます。

「平方完成」は、2次関数の頂点の座標を求めるときなどに使います。
漢文の訓点をつけた雰囲気にすると「平方(2乗)ニ完成スル」と読めます。
つまり、与えられた式を変形し、カッコの2乗を作ることを言います。

xなどの変数は全てカッコの中に入れて、「(変数-定数)^2+定数」の形にするのが目標です。カッコの外にxが残らないことに注意してください。

そして、平方完成した式を展開したら、もとの式になる。と考えておきます。

(x-a)^2=x^2-2ax+a^2

なので、2乗の展開をすると、xが1次の項は、係数に2がつきます。
だから、逆にカッコの2乗を作ると、xが1次の項の半分が出てくる。
とイメージしておくと良いと思います。


平方完成の具体的な方法を、簡単な例を挙げて紹介します。
y=x^2-4x+1という2次関数の平方完成を考えます。

y=x^2-4x+1      ・・・a
 =(x^2-4x+4)-4+1 ・・・b
 =(x-2)^2-3      ・・・c

教科書などによくこんな式が書いてあると思います。
bの式のところでは、普通は単に「ココは半分にして2乗するんだよ。」
みたいに言われていると思います。
・・・が、どうしてそうするのか腑に落ちない人もたくさんいると思います。

そんな人はこんなふうにしてみると良いかも!?

aを書いたら、bの式のスペースを空けて、まず3行目のcの(x-2)^2の部分を書いてみます。

y=x^2-4x+1
 =
 =(x-2)^2        ←「真ん中の項」の半分をカッコの中に

ここでcの式を展開したものをbの位置に書いてみます。

y=x^2-4x+1
 =x^2-4x+4      ← 下の式を展開
 =(x-2)^2

aの式には「4」という項は存在していなかったので、値を合わせるために同じく4を引きます。
また、「+1」という項はaからbへそのまま持ってきます。

y=x^2-4x+1
 =(x^2-4x+4)-4+1 ← bの式完成!
 =(x-2)^2

そして、bの式のカッコの外の部分を計算してみます。

y=x^2-4x+1
 =x^2-4x+4-4+1
 =(x-2)^2-3      ← 括弧の外を計算

ということで、平方完成が完成しました!
このようにするとわかりやすく、ミスも少なくなる気がしませんか?


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