2015年センター数学1A第1問 ③[イ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第1問の[イ]までを解説します。


2015年大学入試センター試験数学1A第1問ここまでの記事→①一般形と標準形②平方完成のやり方





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第1問

 2次関数

   y=-x^2+2x+2・・・①

のグラフの頂点の座標は([ ア ],[ イ ])である。また

   y=f(x)

はxの2次関数で、そのグラフは①のグラフをx軸方向にp,y軸方向にqだけ
平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ ウ ],[ オ ]には、次の{0}~{4}のうちから当てはまるものを一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

{0} >  {1} <  {2} ≧  {3} ≦  {4} ≠

 2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ ウ ][ エ ]

であり、最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ オ ][ カ ]

である。

(2) 2次不等式f(x)>0の解が-2<x<3になるのは

   p=[キク]/[ケ],q=[コサ]/[シ]

のときである。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

最大最小やx軸との位置関係など、2次関数の代表的な論点が、選択肢を選びながら読み進めるだけで習得できます!



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

では、今回の問題を実際に解いてみましょう。

「グラフの頂点の座標」などと書いてあります。
頂点の座標を求めたいときは、平方完成ですね!

y=-x^2+2x+2

早速②平方完成のやり方で紹介した方法を・・・といきたいところですが、xの2乗の項に係数がついている場合は、まずその係数でくくります。

 =-(x^2-2x)+2

この形にしてから、かっこの中身をの方法で平方完成します。

 =-(x^2-2x)+2
 =
 =-(x-1)^2       ←「真ん中の項」の半分をカッコの中に

そして、かっこの2乗を展開し、2行目に書きます。

 =-(x^2-2x)+2
 =-(x^2-2x+1)
 =-(x-1)^2
 
かっこの中に+1を増やしたので、差し引いて相殺します。

 =-(x^2-2x)+2
 =-(x^2-2x+1-1)+2 ←+2は上から下ろしてきた
 =-(x-1)^2

かっこの2乗を作るために必要ない項は、かっこの外に出します。

 =-(x^2-2x)+2
 =-(x^2-2x+1-1)+2 ←-1をかっこの外に出す
 =-(x-1)^2+1+2

かっこの外を計算すると、

 =-(x-1)^2+3

となります。
これで与式は、★2次関数の標準形y=a(x-p)^2+qの形になりました。

この形のとき、頂点は(p,q)です。

y=-(x-1)^2+3なので、求める頂点の座標は(1,3)です。

よって、[ア]=1,[イ]=3


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