2015年センター数学1A第1問 ④[エ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第1問の[エ]までを解説します。


2015年大学入試センター試験数学1A第1問ここまでの記事→①一般形と標準形②平方完成のやり方③[イ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第1問

 2次関数

   y=-x^2+2x+2・・・①

のグラフの頂点の座標は([ ア ],[ イ ])である。また

   y=f(x)

はxの2次関数で、そのグラフは①のグラフをx軸方向にp,y軸方向にqだけ
平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ ウ ],[ オ ]には、次の{0}~{4}のうちから当てはまるものを一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

{0} >  {1} <  {2} ≧  {3} ≦  {4} ≠

 2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ ウ ][ エ ]

であり、最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ オ ][ カ ]

である。

(2) 2次不等式f(x)>0の解が-2<x<3になるのは

   p=[キク]/[ケ],q=[コサ]/[シ]

のときである。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

最大最小やx軸との位置関係など、2次関数の代表的な論点が、選択肢を選びながら読み進めるだけで習得できます!



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次に「y=f(x)」について考えます。

この問題でのy=f(x)は、「xの2次関数で、そのグラフは①のグラフをx軸方向にp,y軸方向にqだけ平行移動したもの」とあります。

そして、次の設問では、このy=f(x)の最大値・最小値について考えます。

まず、「2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲」を尋ねています。

y=f(x)は、①を平行移動したものなので、①と同じく上に凸のグラフになります。ということは、頂点が定義域内にあれば、頂点が最大値です。
頂点が定義域内になければ、定義域の両端のうち、頂点に近い方が最大値、頂点から遠い方が最小値となります。


ここで、改めてグラフを確認してみましょう。
(まだ描いてない人は、グラフを描いてみてください)

上で考えたように、頂点が定義域内にあれば頂点が最大値になってしまうので、その場合は、最大値はf(2)でなくなってしまいます。

最大値がf(2)であるためには、頂点が定義域の左側になければいけません。

つまり、頂点のx座標が2以下である必要があります。
(頂点のx座標が2であれば、最大値はf(2)であるので、不等号にはイコールを含みます)

これを式で表すと・・・

p+1≦2
  p≦2-1
  p≦1

よって、[ウ]={3},[エ]=1


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