2015年センター数学1A第1問 ⑥最後まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第1問の最後までを解説します。


2015年大学入試センター試験数学1A第1問ここまでの記事→①一般形と標準形②平方完成のやり方③[イ]まで④[エ]まで⑤[カ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第1問

 2次関数

   y=-x^2+2x+2・・・①

のグラフの頂点の座標は([ ア ],[ イ ])である。また

   y=f(x)

はxの2次関数で、そのグラフは①のグラフをx軸方向にp,y軸方向にqだけ
平行移動したものであるとする。

(1) 下の[ ウ ],[ オ ]には、次の{0}~{4}のうちから当てはまるものを一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

{0} >  {1} <  {2} ≧  {3} ≦  {4} ≠

 2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ ウ ][ エ ]

であり、最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は

   p[ オ ][ カ ]

である。

(2) 2次不等式f(x)>0の解が-2<x<3になるのは

   p=[キク]/[ケ],q=[コサ]/[シ]

のときである。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

最大最小やx軸との位置関係など、2次関数の代表的な論点が、選択肢を選びながら読み進めるだけで習得できます!



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

第1問の最後は2次不等式です。

「2次不等式f(x)>0の解が-2<x<3になる」場合のp,qの値を聞いています。

まずは解が-2<x<3になる場合の2次不等式を表してみましょう。

不等式の解は、x軸との交点の座標が境界線になるので・・・

このような解になるならば、f(x)は、因数分解すると次の形になります。

f(x)=a(x+2)(x-3)<0

これを解けば-2<x<3になりますよね?

つまり、①を変形するとこの形になる。と考えられます。

①は、a=-1<0よりグラフが上に凸なので、f(x)=-(x+2)(x-3)>0となります。

これをp,qの値がわかるように変形すればよいですね!


p,qは平行移動した量なので、頂点の座標で比較するのが標準的です。
つまり、f(x)の式を平方完成して①と比較すればいいのです!

では、実際にやってみましょう!

f(x)=-(x+2)(x-3)
=-(x^2-x-6)
=-(x^2-x)+6
=-{(x-1/2)^2-1/4}+6
=-(x-1/2)^2+1/4+6
=-(x-1/2)^2+25/4

よって、f(x)の頂点は(1/2,25/4)

①の頂点が(1,3)だったので、これをx方向に1/2-1=-1/2,y方向に25/4-3=13/4移動すれば、f(x)と一致することになります。

よって、[キク]=-1,[ケ]=2,[コサ]=13,[シ]=4


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