2015年センター数学1A第2問[1] ④最後まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第2問[1]の最後までを解説します。


2015年センター数学1A第2問[1]ここまでの記事→①逆・裏・対偶②[ア]まで③[イ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第2問
                      _  _  _  _
[ 1 ] 条件p1,p2,q1,q2の否定をそれぞれp1,p2,q1,q2と書く。

(1) 次の[ ア ]に当てはまるものを、下の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

命題「(p1かつp2)→(q1かつq2)」の対偶は[ア]である。
   _    _   _    _
{0} (p1またはp2)→(q1またはq2)
   _    _   _    _
{1} (q1またはq2)→(p1またはp2)
   _   _   _   _
{2} (q1かつq2)→(p1かつp2)
   _   _   _   _
{3} (p1かつp2)→(q1かつq2)

(2) 自然数nに対する条件p1, p2, q1, q2を次のように定める。

  p1:nは素数である
  p2:n+2は素数である
  q1:n+1は5の倍数である
  q2:n+1は6の倍数である

30以下の自然数のなかで[イ]と[ウエ]は
             _
  命題「(p1かつp2)→(q1かつq2)」

の反例となる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

逆・裏・対偶、必要条件・十分条件などについて、イメージが掴みやすくなると好評です。



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

前回の記事→③[イ]まで

あとは、同様に30までやっていけば見つかりますが、闇雲にやっていると時間がかかるので、少し工夫してみましょう。

まず矢印の左側が成り立っていないと話にならないので、nとn+2の両方が素数になる場合を探していきます。

n=3のときn+2=5
n=5のときn+2=7
n=11のときn+2=13
n=17のときn+2=19
n=29のときn+2=31

これだけですね!

さらに、もう一つの解答欄は、2ケタの数なので、n=5のときは当てはまらないこともわかります。

つまり、n=11,17,29の3通りだけを検討してみればよいのです!


では実際にやってみましょう!

n=11のとき、

「11は素数かつ13は素数→12は5の倍数でないかつ12は6の倍数」

この場合は矢印の右側も特に矛盾はありません。
つまり、反例になりません。


n=17のとき、

「17は素数かつ19は素数→18は5の倍数でないかつ18は6の倍数」

これまた特に矛盾はないので、反例ではありません。


すると、残るはn=29しかありませんが、念のため確認してみましょう。

「29は素数かつ31は素数→30は5の倍数でないかつ30は6の倍数」

30は5の倍数なので、矛盾しています。
つまり、n=29は反例である。ということができます。

よって、[ウエ]=29


次の記事→⑤解答一覧と公式・性質

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