2015年センター数学1A第2問[2] ⑤外接円の半径

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第2問[2]の外接円の半径までを解説します。


2015年センター数学1A第2問[2]ここまでの記事→①三角比の値②[オ]まで③[キ]まで④[コサ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第2問

[ 2 ] △ABCにおいて、AB=3,BC=5,∠ABC=120°とする。

このとき、AC=[オ],sin∠ABC=√[カ]/[キ]であり、

sin∠BCA=[ク]√[ケ]/[コサ]である。

 直線BC上に点Dを、AD=3√3かつ∠ADCが鋭角、となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、△APCの外接円の半径をRとすると、Rのとり得る値の範囲は[シ]/[ス]≦R≦[セ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

三角比の値の求め方はもちろん、正弦・余弦定理や面積の公式の使い方などがスムーズに理解できると好評です!



2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

次は新しい条件が加わります。
まずは設定をしっかり確認しましょう!

「直線BC上に点Dを、AD=3√3かつ∠ADCが鋭角となるようにとる。点Pを線分BD上の点とし、△APCの外接円の半径をRとする」

とあります。

まず「直線BC上に」とあるので、辺BC上だけでなく、△ABCの外部の点も含むことに注意して下さい。
辺BCを両側に延長しておくと良いと思います。

点Dは、「AD=3√3かつ∠ADCが鋭角」となるような点なので、BCの延長線のうち、B側の方になります。

「点Pを線分BD上の点」とするので、DとBの適当なところに点Pを描いてみます。この点PがBとDの間のいろいろな所に移動する。と考えます。

設問では、このときの「Rのとり得る値の範囲」聞いています。

まずはPの場所によって、円の場所と大きさがいろいろ変わることを確認し、イメージしておきましょう。

どんなときが最も大きく、どんなときが最も小さいのか・・・

いろいろな場所に移動してみると、点Pが点Dに重なったときが最も大きくなることはすぐに見当がつくと思います。

まずはこれを求めてみましょう!

Rは「外接円の半径」なので、先ほど登場した正弦定理が使えそうですね!

まず、点Pが点Dと重なるときは、△APC=△ADCなので、

2R=AD/sin∠ACD(=∠BCA)
  =3√3/(3√3/14)
  =1/(1/14)
  =14
 R=7


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