本日配信のメルマガ。2018年センター数学1A第5問 平面図形の性質(方べきの定理、メネラウスの定理など)

本日配信のメルマガでは、2018年センター数学1A第5問を解説します。


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■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。

 ∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]
である。

 点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEと
すると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。

 次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つ
ずつ選べ。

 BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの
端点[サ]の側の延長上にある。

{0} <  {1} =  {2} >  {3} A  {4} C

 その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]
である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることが
わかる。

 次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。

 点Dは△ABFの[タ]。

{0} 外心である  {1} 内心である  {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。





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■ 解説目次

 ◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
 ◆2 出せるものは何でも出そう!
 ◆3 二等分線なら対辺を分ける比がわかる
 ◆4 円に直線が交わっていたら、方べきの定理
 ◆5 わかっている辺の長さを代入して

(以下略)

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■ 解説

◆1~3は省略します。


 ◆4 円に直線が交わっていたら、方べきの定理

次は、

 点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEと
すると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。

このように言っています。

ここまでを図で表すと、次のようになります。

(図はここでは省略します)

この図において、AB=2,AC=1,BD=2√5/3,∠A=90°,
ADは∠Aの二等分線→BD:DC=2:1がわかっています。

この条件で、AB・BEを求めたい。というわけです。

そんなときは・・・「方べきの定理」ですね。

2本の直線が円との交点で分けられたとき、線分の長さの積が等しくなる。という
定理です。これは中学数学の相似な図形の応用です。

EとDを結ぶと、△BED∽△BADなので、「対応する辺の比が等しい」こと
から等式を作ることができます。

でも、「相似」と見るよりも「方べきの定理」と見た方が立式や計算が簡単
なので、現在の高校数学では主に方べきの定理を使うことになっています。


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 ◆5 わかっている辺の長さを代入して

今回の図では、方べきの定理より、AB・BE=BD^2という式を作ることが
できます。

BD=2√5/3を代入して・・・


(以下略)


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          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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