2015年センター数学1A第5問の(3) ⑤ユークリッドの互除法

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第5問の(3)に関して、ユークリッドの互除法について解説します。


2015年センター数学1A第5問ここまでの記事→①[ウ]まで②[エオ]まで③[カキ]まで④[クケコ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第4問~第6問は、いずれか2問を選択し、解答しなさい。

第5問

 以下では、a=756とし、mは自然数とする。

(1) aを素因数分解すると

   a=2^[ア]・3^[イ]・[ウ]

である。

 aの正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) √(am)が自然数となる最小の自然数mは[カキ]である。√(am)が自然数となるとき、mはある自然数kにより、m=[カキ]k^2と表される数であり、そのときの√(am)の値は[クケコ]kである。

(3) 次に、自然数kにより[クケコ]kと表される数で、11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式

   [クケコ]k-11l=1

を解くと、k>0となる整数解(k,l)のうちkが最小のものは、k=[サ],l=[シスセ]である。

(4) √(am)が11で割ると1余る自然数となるとき、そのような自然数mのなかで最小のものは[ソタチツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。



数学の赤本(センター過去問)や、センター試験公式サイトも活用してみると良いかも知れません。


■ 解説

(3)は1次不定方程式に関する問題です。

1次不定方程式とは、ax+by=cの形で表される方程式で、ユークリッドの互除法を問題に用いるのが標準的です。

[クケコ]=126なので、与式は126k-11l=1となります。

kとlの2つの文字の係数に対してユークリッドの互除法を用います。

ここで、まずユークリッドの互除法について確認しておきましょう!

 大きい方を小さい方で割り、商と余りを求める。
→先ほどの割る数(小さい方)を余りで割り、その商と余りを求める。
→さらに今の割る数を今の余りで割り、その商と余りを求める。

これを余りがゼロになるまで続けます。
余りがゼロになったときの「割る数」が2つの数の最大公約数である。という方法です。

例えば、195と315の最大公約数を求めてみましょう。

315>195なので、315÷195=1・・・120
「直前の割る数」÷「余り」なので、195÷120=1・・・75
これを続けて、120÷75=1・・・45
75÷45=1・・・30
45÷30=1・・・15
30÷15=2

よって、195と315の最大公約数は15であることがわかります。


次の記事→⑥[シスセ]まで

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