2015年センター数学1A第5問 ⑥[シスセ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第5問の[シスセ]までを解説します。


2015年センター数学1A第5問ここまでの記事→①[ウ]まで②[エオ]まで③[カキ]まで④[クケコ]まで⑤ユークリッドの互除法





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第4問~第6問は、いずれか2問を選択し、解答しなさい。

第5問

 以下では、a=756とし、mは自然数とする。

(1) aを素因数分解すると

   a=2^[ア]・3^[イ]・[ウ]

である。

 aの正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) √(am)が自然数となる最小の自然数mは[カキ]である。√(am)が自然数となるとき、mはある自然数kにより、m=[カキ]k^2と表される数であり、そのときの√(am)の値は[クケコ]kである。

(3) 次に、自然数kにより[クケコ]kと表される数で、11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式

   [クケコ]k-11l=1

を解くと、k>0となる整数解(k,l)のうちkが最小のものは、k=[サ],l=[シスセ]である。

(4) √(am)が11で割ると1余る自然数となるとき、そのような自然数mのなかで最小のものは[ソタチツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

では、今回の問題で、同様にやってみましょう!

ユークリッドの互除法を用いて1次不定方程式の整数解を求めることができます。

126k-11l=1の係数を取り出し、まずは途中まで割ってみましょう。

126÷11=11・・・5 
11÷5=2・・・1 

素直にやると、このようになります。これを余りを表す形にそれぞれ変形します。

→ 126=11×11+5 → 5=126-11×11

→ 11=5×2+1 → 1=11-5×2

下の式の5は、上の式の余り=左辺なので、下の式に上の式を代入します。

1=11-(126-11×11)×2

こうすると、もとの126k-11l=1と共通する数字がいくつも出てきます。
このもとの式と同じ形ができるように変形していきます。

1=11-126×2+11×22  ←かっこを外した
1=-126×2+11×23    ←11と11×22をまとめた

∴-126×2+11×23=1

これでもとの式と同じ形になりました。
もとの式と引き算し変形すると、(126の倍数)=(11の倍数)の形になります。

    126k -11l =1
-)-126×2+11×23=1
-----------------
126(k+2)-11(l-23)=0

移項して、126(k+2)=11(l-23)とします。
これで(126の倍数)=(11の倍数)の形になりました。

11は素数なので126と11は互いに素(1以外の公約数を持たない)です。
このとき、整数nを用いて次の式が成り立ちます。

k+2=11n,l-23=126n

k+2が11の倍数になり、l-23が126の倍数ならば、この式の両辺が等しくなるからですね。

kとlの整数解を求めたいので、それぞれk,lについて解きます。

k=11n-2,l=126n-23

となりますね。
もちろんnには様々な値を入れることが可能ですが、ここでは「kが最小のもの」とあるので、n=1を代入してみましょう!

k=11-2=9,l=126-23=103

よって、[サ]=9,[シスセ]=103


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