2015年センター数学1A第5問 ⑦最後まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第5問の最後までを解説します。


2015年センター数学1A第5問ここまでの記事→①[ウ]まで②[エオ]まで③[カキ]まで④[クケコ]まで⑤ユークリッドの互除法⑥[シスセ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第4問~第6問は、いずれか2問を選択し、解答しなさい。

第5問

 以下では、a=756とし、mは自然数とする。

(1) aを素因数分解すると

   a=2^[ア]・3^[イ]・[ウ]

である。

 aの正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) √(am)が自然数となる最小の自然数mは[カキ]である。√(am)が自然数となるとき、mはある自然数kにより、m=[カキ]k^2と表される数であり、そのときの√(am)の値は[クケコ]kである。

(3) 次に、自然数kにより[クケコ]kと表される数で、11で割った余りが1となる最小のkを求める。1次不定方程式

   [クケコ]k-11l=1

を解くと、k>0となる整数解(k,l)のうちkが最小のものは、k=[サ],l=[シスセ]である。

(4) √(am)が11で割ると1余る自然数となるとき、そのような自然数mのなかで最小のものは[ソタチツ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

次は「√(am)が11で割ると1余る自然数となる」という条件です。

④[クケコ]までなどで考えたように、√(am)=126kでしたね。

つまり、126kが11で割ると1余る場合を考えます。

これを式で表してみると・・・

126k÷11=(商)・・・1 → 1=126k-11×(商)

なにやらどこかで見たような式ですね(笑)
この(商)をlとしてみれば、

126k-11l=1

となってしまいます!
なんと!これは、⑥[シスセ]までで解いた1次不定方程式と全く同じです!(笑)

kが最小のときの整数解はk=9でしたね。

√(am)=126kなので、kが最小のときが√(am)が、つまりはmが最小になります。

問題文にあるように、m=[カキ]k^2=21k^2なので、k=9を代入して、

m=21×9^2=21×81=1701

よって、[ソタチツ]=1701


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