2015年センター数学1A第6問 ②[アイ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学1A第6問の[アイ]までを解説します。


2015年センター数学1A第6問ここまでの記事→①設定と図





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数1Aより

第4問~第6問は、いずれか2問を選択し、解答しなさい。

第6問

 △ABCにおいて、AB=AC=5,BC=√5とする。辺AC上に点DをAD=3となるようにとり、辺BCのB側の延長と△ABDの外接円との交点でBと異なるものをEとする。

 CE・CB=[アイ]であるから、BE=√[ウ]である。

 △ACEの重心をGとすると、AG=[エオ]/[カ]である。

ABとDEの交点をPとすると

   DP/EP=[キ]/[ク] ・・・・・・{1}

である。

 △ABCと△EDCにおいて、点A,B,D,Eは同一円周上にあるので∠CAB=∠CEDで、∠Cは共通であるから

   DE=[ケ]√[コ] ・・・・・・{2}

である。

 {1},{2}から、EP=[サ]√[シ]/[ス]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

前回の記事では、まず問題の設定を確認し、図を描いてみました。図はこんなかんじです。

最初の設問は「CE・CB」の値です。

現行の数学1Aのこの単元としては、「方べきの定理」を使うの標準的です。

方べきの定理より、CE・CB=CA・CD=5×2=10となります。

これであっさり誰にでも簡単に出てしまうのですが、個人的には三角形の相似を使う方が良いと思います。方べきの定理しかわかっていないと、ミスがあった場合に気づきにくいだけでなく、あっさり出てしまうがために、結局図形の様々な面の理解の妨げになることがあるからです。

しかも、三角形の相似は等しい角を見つけるだけで確認することができ、結局のところ、他の問題で等しい角を見つける必要がある場合も多いです。

とにかく、相似であることを確認してみましょう。
AとEを結びます。

△BCDと△ACEにおいて、
四角形BDAEは円に内接する四角形なので、∠BDC=∠AEC
共通な角なので、∠C=∠C
2組の角がそれぞれ等しいので、△BCD相似△ACE

簡単に相似であることがわかりました。
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、CD:CB=CE:CA
よって、CE・CB=CA・CD=10となります。

よって、[アイ]=10


次の記事→③[ウ]まで

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