2015年センター数学2B第1問[1] ②[ア]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[ア]までを解説します。


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★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 1 ] Oを原点とする座標平面上の2点P(2cosθ,2sinθ),Q(2cosθ+cos7θ,2sinθ+sin7θ)を考える。ただし、π/8≦θ≦π/4とする。

(1) OP=[ア],PQ=[イ]である。また

 OQ^2=[ウ]+[エ](cos7θcosθ+sin7θsinθ)
    =[ウ]+[エ]cos([オ]θ)

である。

 よって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、OQはθ=π/[カ]のとき最大値√[キ]をとる。


(2) 3点O,P,Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう。

 直線OPを表す方程式は[ク]である。[ク]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} (cosθ)x+(sinθ)y=0  {1} (sinθ)x+(cosθ)y=0
{2} (cosθ)x-(sinθ)y=0  {3} (sinθ)x-(cosθ)y=0

 このことにより、π/8≦θ≦π/4の範囲で、3点O,P,Qが一直線上にあるのはθ=π/[ケ]のときであることがわかる。

(3) ∠OQPが直角となるのはOQ=√[コ]のときである。したがって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、∠OQPが直角となるのはθ=([サ]/[シ])πのときである。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

まずはOPとPQの長さを聞いています。

これは要するに「2点間の距離」です。
2点間の距離を求めるには、三平方の定理を応用して、

★ l=√{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}

という式で求められます。
つまりは、「x座標の差を横、y座標の差を縦とする直角三角形の斜辺」という
ことです。

では、実際にやってみましょう!

Oは原点、P(2cosθ,2sinθ)なので、

OP=√{(2cosθ)^2+(2sinθ)^2}
  =√{4(cosθ)^2+4(sinθ)^2}
  =√4{(cosθ)^2+(sinθ)^2}

ここで、数学1でも登場した三角比の相互関係を用います。
★ (sinθ)^2+(cosθ)^2=1なので、√の中が一気に簡単になります。

  =2√1
  =2

よって、[ア]=2


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