2015年センター数学2B第1問[1] ④[オ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[オ]までを解説します。


2015年センター数学2B第1問[1]ここまでの記事→①ラジアン②[ア]まで③[イ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 1 ] Oを原点とする座標平面上の2点P(2cosθ,2sinθ),Q(2cosθ+cos7θ,2sinθ+sin7θ)を考える。ただし、π/8≦θ≦π/4とする。

(1) OP=[ア],PQ=[イ]である。また

 OQ^2=[ウ]+[エ](cos7θcosθ+sin7θsinθ)
    =[ウ]+[エ]cos([オ]θ)

である。

 よって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、OQはθ=π/[カ]のとき最大値√[キ]をとる。


(2) 3点O,P,Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう。

 直線OPを表す方程式は[ク]である。[ク]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} (cosθ)x+(sinθ)y=0  {1} (sinθ)x+(cosθ)y=0
{2} (cosθ)x-(sinθ)y=0  {3} (sinθ)x-(cosθ)y=0

 このことにより、π/8≦θ≦π/4の範囲で、3点O,P,Qが一直線上にあるのはθ=π/[ケ]のときであることがわかる。

(3) ∠OQPが直角となるのはOQ=√[コ]のときである。したがって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、∠OQPが直角となるのはθ=([サ]/[シ])πのときである。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

次はOQ^2です。
これも「同様に」やってみましょう!

OQ^2=(2cosθ+cos7θ)^2+(2sinθ+sin7θ)^2
   =4(cosθ)^2+4cosθcos7θ+(cos7θ)^2
          +4(sinθ)^2+4sinθsin7θ+(sin7θ)^2

収拾がつかないような長い式・・・でもありません(笑)
これまた(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使えばかなり簡単になります。

θの部分が同じものに着目して、順番を入れ替えて、

   =4(sinθ)^2+4(cosθ)^2+(sin7θ)^2+(cos7θ)^2
               +4cosθcos7θ+4sinθsin7θ
   =4+1+4cosθcos7θ+4sinθsin7θ
   =5+4(cos7θcosθ+sin7θsinθ)   ←くくった

さらに、かっこの中身を見てみると、三角関数の加法定理の式の形になっていることに気づくはず・・・気づいて欲しいです。

★ cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

これの右辺がカッコの中にある。とイメージしてください。ということで・・・

   =5+4(cos7θ-θ)
   =5+4cos6θ

よって、[ウ]=5,[エ]=4,[オ]=6


次の記事→⑤[キ]まで

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