2015年センター数学2B第1問[1] ⑦[ケ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[1]の[ケ]までを解説します。


2015年センター数学2B第1問[1]ここまでの記事→①ラジアン②[ア]まで③[イ]まで④[オ]まで⑤[キ]まで⑥[ク]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 1 ] Oを原点とする座標平面上の2点P(2cosθ,2sinθ),Q(2cosθ+cos7θ,2sinθ+sin7θ)を考える。ただし、π/8≦θ≦π/4とする。

(1) OP=[ア],PQ=[イ]である。また

 OQ^2=[ウ]+[エ](cos7θcosθ+sin7θsinθ)
    =[ウ]+[エ]cos([オ]θ)

である。

 よって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、OQはθ=π/[カ]のとき最大値√[キ]をとる。


(2) 3点O,P,Qが一直線上にあるようなθの値を求めよう。

 直線OPを表す方程式は[ク]である。[ク]に当てはまるものを、次の{0}~{3}のうちから一つ選べ。

{0} (cosθ)x+(sinθ)y=0  {1} (sinθ)x+(cosθ)y=0
{2} (cosθ)x-(sinθ)y=0  {3} (sinθ)x-(cosθ)y=0

 このことにより、π/8≦θ≦π/4の範囲で、3点O,P,Qが一直線上にあるのはθ=π/[ケ]のときであることがわかる。

(3) ∠OQPが直角となるのはOQ=√[コ]のときである。したがって、π/8≦θ≦π/4の範囲で、∠OQPが直角となるのはθ=([サ]/[シ])πのときである。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

三角関数の様々な論点について、選択肢を選びながら読み進めるだけでわかる!と好評です!




2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

次は「3点O,P,Qが一直線上にある」ときのθの値です。

「一直線上にある」ならば、それらの点は、直線の式に代入して成り立ちます。
つまり、⑥[ク]までで求めた式に、Qの座標を代入すればOK!

(sinθ)x-(cosθ)y=0に、
Q(2cosθ+cos7θ,2sinθ+sin7θ)を代入して、

 (sinθ)(2cosθ+cos7θ)-(cosθ)(2sinθ+sin7θ)
=2sinθcosθ+sinθcos7θ-2sinθcosθ-cosθsin7θ
=sinθcos7θ-cosθsin7θ

ここでまた加法定理を使います。
★ sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβなので、

=sin(θ-7θ)
=sin(-6θ)
=-sin6θ=0
  sin6θ=0   ←両辺の符号を変えた

これまたπ/8≦θ≦π/4より、(3/4)π≦6θ≦(3/2)πです。
この範囲でサインの値が0になるのは・・・6θ=πのときですね。

つまり、θ=π/6となります。

よって、[ケ]=6


次の記事→⑧最後まで

トップページ


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html

vol.277の記事を分割してお送りしています。
1回にまとめてご覧になりたい方は、該当する回を含む月のバックナンバーをご購入ください。


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
 かかる費用は授業料と教材費(定価)のみ!生徒募集中です!

プロ家庭教師の江間です。     AE個別学習室
http://www.a-ema.com/k/      http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

この記事へのコメント