2015年センター数学2B第1問[2] ①指数・累乗根の関係

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[2]に関して、指数・累乗根の関係を解説します。


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■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 2 ] a,bを正の実数とする。連立方程式

(*){x・√(y^3)=a
  {x^(1/3)・y=b

を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式(*)を満たす正の実数x,yは

 x=a^[ス]・b^[セソ],y=a^p・b^[タ]

となる。ただし

 p=[チツ]/[テ]

である。

(2) b=2(a^4)^(1/3)とする。aがa>0範囲を動くとき、連立方程式(*)を満たす正の実数x,yについて、x+yの最小値を求めよう。

 b=2(a^4)^(1/3)であるから、(*)を満たす正の実数x,yは、aを用いて

x=2^[セソ]・a^[トナ],y=2^[タ]・a^[ニ]

と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、x+yはa=2^qのとき最小値√[ヌ]をとることがわかる。ただし

 q=[ネノ]/[ハ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、累乗根は分数の指数で、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

2015年第1問[2]は、主に指数・累乗根に関する問題でした。

今回の問題に入る前に、まずは指数と累乗根についておさらいしておきましょう!

普通に整数の指数については、中学で習った通りです。
x^nならば、「xをn回掛ける」ことを意味します。

これを拡張すると、分数の指数も理解することができます。

例えば、x^(1/3)は、「xを1/3回掛ける」ということができます。
これを3乗すると、「xを3/3回掛ける」=「xを1回掛ける」となります。

つまり、x^(1/3)は、「3乗するとxになる数」です。

これを累乗根で表せば、x^(1/3)=xの3乗根です。

ちなみに、ただの√は、1/2乗です。

この指数と累乗根の関係をしっかり理解しておいてくださいね!


更に、「マイナスの指数は逆数」と覚えておいてください。


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