2015年センター数学2B第1問[2] ②[セソ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[セソ]までを解説します。


2015年数学2B第1問[2]ここまでの記事→①指数・累乗根





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 2 ] a,bを正の実数とする。連立方程式

(*){x・√(y^3)=a
  {x^(1/3)・y=b

を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式(*)を満たす正の実数x,yは

 x=a^[ス]・b^[セソ],y=a^p・b^[タ]

となる。ただし

 p=[チツ]/[テ]

である。

(2) b=2(a^4)^(1/3)とする。aがa>0範囲を動くとき、連立方程式(*)を満たす正の実数x,yについて、x+yの最小値を求めよう。

 b=2(a^4)^(1/3)であるから、(*)を満たす正の実数x,yは、aを用いて

x=2^[セソ]・a^[トナ],y=2^[タ]・a^[ニ]

と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、x+yはa=2^qのとき最小値√[ヌ]をとることがわかる。ただし

 q=[ネノ]/[ハ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、累乗根は分数の指数で、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

では、最初の設問にいってみましょう!

与式は

(*){x・√(y^3)=a
  {x^(1/3)・y=b

で、このx,yをa,bで表します。
このままではわかりにくいので簡単にしてしまえばOK!

x・√(y^3)=aの両辺を2乗してみると、

x^2・y^3=a^2


そして、x^(1/3)・y=bの両辺を3乗してみると、

x・y^3=b^3


これで少し簡単になりました。
まずは並べて書いてみて、何ができるか考えてみてください。

{x^2・y^3=a^2
{x・y^3=b^3


これらの式を用いて、x,yを表すには・・・

たとえば、x^2・y^3=a^2を、y^3について解いてみます。

x^2・y^3/x^2=a^2/x^2
      y^3=a^2/x^2

これをそのまま2個目の式に代入すると、

x・(a^2/x^2)=b^3
    a^2/x=b^3
    x/a^2=1/b^3    ←両辺を逆数にした
       x=a^2/b^3

①指数・累乗根で述べたように、「マイナスの指数は逆数」なので、

x=a^2・b^(-3)

よって、[ス]=2,[セソ]=-3


次の記事→③[テ]まで

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