2015年センター数学2B第1問[2] ③[テ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[テ]までを解説します。


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★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 2 ] a,bを正の実数とする。連立方程式

(*){x・√(y^3)=a
  {x^(1/3)・y=b

を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式(*)を満たす正の実数x,yは

 x=a^[ス]・b^[セソ],y=a^p・b^[タ]

となる。ただし

 p=[チツ]/[テ]

である。

(2) b=2(a^4)^(1/3)とする。aがa>0範囲を動くとき、連立方程式(*)を満たす正の実数x,yについて、x+yの最小値を求めよう。

 b=2(a^4)^(1/3)であるから、(*)を満たす正の実数x,yは、aを用いて

x=2^[セソ]・a^[トナ],y=2^[タ]・a^[ニ]

と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、x+yはa=2^qのとき最小値√[ヌ]をとることがわかる。ただし

 q=[ネノ]/[ハ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、累乗根は分数の指数で、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

今度はxについて解いて代入してみましょう!

{x^2・y^3=a^2
{x・y^3=b^3

   x・y^3=b^3
x・y^3/y^3=b^3/y^3
      x=b^3/y^3

これを上の式に代入すると、

{(b^3/y^3)^2}・y^3=a^2
  (b^6/y^6)・y^3=a^2
      b^6/y^3=a^2
      y^3/b^6=1/a^2      ←両辺を逆数にした
         y^3=a^(-2)・b^6   ←両辺にb^6を掛けた
          y=a^(-2/3)・b^2 ←両辺の3乗根

よって、[タ]=2,[チツ]=-2,[テ]=3


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