2015年センター数学2B第1問[2] ⑥[ヌ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の[ヌ]までを解説します。


2015年数学2B第1問[2]ここまでの記事→①指数・累乗根②[セソ]まで③[テ]まで④[トナ]まで⑤[ニ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 2 ] a,bを正の実数とする。連立方程式

(*){x・√(y^3)=a
  {x^(1/3)・y=b

を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式(*)を満たす正の実数x,yは

 x=a^[ス]・b^[セソ],y=a^p・b^[タ]

となる。ただし

 p=[チツ]/[テ]

である。

(2) b=2(a^4)^(1/3)とする。aがa>0範囲を動くとき、連立方程式(*)を満たす正の実数x,yについて、x+yの最小値を求めよう。

 b=2(a^4)^(1/3)であるから、(*)を満たす正の実数x,yは、aを用いて

x=2^[セソ]・a^[トナ],y=2^[タ]・a^[ニ]

と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、x+yはa=2^qのとき最小値√[ヌ]をとることがわかる。ただし

 q=[ネノ]/[ハ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、累乗根は分数の指数で、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

④[トナ]まで⑤[ニ]までで、x,yを表せたので、まずはx+yをそのままやってみましょう!

x+y=2^(-3)・a^(-2)+2^2・a^2

せっかく表しましたが、文字の部分が一致していませんし、いったんこれはここで保留しておきましょう。続きを読んでみると・・・

親切にも「相加平均と相乗平均の関係を利用すると」とあるので、このヒントを活用することを考えます。

「相加平均」とは「足して2で割ったもの」で、
「相乗平均」とは「掛けてルートしたもの」です。

「相加平均は相乗平均より大きいか等しい」という関係があります。
つまり、次の式が成り立ちます。

(x+y)/2≧√(xy)

この式の両辺に2を掛けると、

x+y≧2√(xy)

つまり、x+yは2√(xy)以上であることがわかります。
言い換えれば、x+yの最小値は2√(xy)です。


相加相乗平均より、x+yは2√(xy)以上なので、x+yの最小値は2√(xy)であることがわかりました。

「相加平均≧相乗平均」より「相加平均の最小値が相乗平均」という関係は、意外とよく使います。
しっかり頭に入れておきましょう!

では、実際に2√(xy)を計算してみましょう!

2√(xy)=2√{2^(-3)・a^(-2)×2^2・a^2}
     =2√{2^(-1)・a^0}
     =2/√2
     =√2

よって、[ヌ]=2


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