2015年センター数学2B第1問[2] ⑦最後まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第1問[2]の最後までを解説します。


2015年数学2B第1問[2]ここまでの記事→①指数・累乗根②[セソ]まで③[テ]まで④[トナ]まで⑤[ニ]まで⑥[ヌ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第1問

[ 2 ] a,bを正の実数とする。連立方程式

(*){x・√(y^3)=a
  {x^(1/3)・y=b

を満たす正の実数x,yについて考えよう。

(1) 連立方程式(*)を満たす正の実数x,yは

 x=a^[ス]・b^[セソ],y=a^p・b^[タ]

となる。ただし

 p=[チツ]/[テ]

である。

(2) b=2(a^4)^(1/3)とする。aがa>0範囲を動くとき、連立方程式(*)を満たす正の実数x,yについて、x+yの最小値を求めよう。

 b=2(a^4)^(1/3)であるから、(*)を満たす正の実数x,yは、aを用いて

x=2^[セソ]・a^[トナ],y=2^[タ]・a^[ニ]

と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、x+yはa=2^qのとき最小値√[ヌ]をとることがわかる。ただし

 q=[ネノ]/[ハ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、累乗根は分数の指数で、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

x+yの最小値は√2であることがわかりました。ならば、

x+y=2^(-3)・a^(-2)+2^2・a^2=√2

ということができます。
これを解けば、a=2^qの値を求めることができそうです。

2^(-3)・a^(-2)+2^2・a^2=√2
     2^(-3)+2^2・a^4=√2・a^2  ←両辺にa^2を掛ける
       1/8+4a^4=√2a^2
  4a^4-√2a^2+1/8=0      ←移項した
  32a^4-8√2a^2+1=0      ←両辺に8を掛けた
     (4√2a^2-1)^2=0      ←因数分解した

∴a^2=1/4√2
 a^2=2^(-5/2)        ←指数に書き直した
  a=2^(-5/4)

[ネノ]=-5,[ハ]=4


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