2015年センター数学2B第2問 ③[カ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第2問の[カ]までを解説します。


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★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x-(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS-Tの値について調べよう。

  S-T=a(a^2-[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S-T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>√[ニ]である。またa>0のときのS-Tの増減を調べると、S-Tはa=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

次は、C上の点P(a,(1/2)a^2)における接線lの方程式を求めます。

接線は直線なので1次関数です。
ならば、中学で習ったy=ax+bに代入するれば解けます。
・・・解けますが、少し面倒なので、高校で習った直線の方程式を使うのがオススメです。

★y-y1=m(x-x1)

ですね。
x1,y1には直線上の点の座標を、mには傾きを代入します。

接線lはもちろん、点Pを通るので、x1,y1には点Pの座標を代入します。
傾きは微分係数なので、②[エ]までで求めたf'(a)=aを代入します。

y-(1/2)a^2=a(x-a)
       y=ax-a^2+(1/2)a^2
       y=ax-(1/2)a^2

よって、[オ]=a,[カ]=2

文字ばかりで計算が大変!と思う人もいると思いますが、文字だろうが数字だろうが計算法則は変わりません。とにかく代入して計算ですよ!


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