2015年センター数学2B第2問 ④[ス]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第2問の[ス]までを解説します。


2015年センター数学2B第2問ここまでの記事→①[イ]まで②[エ]まで③[カ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x-(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS-Tの値について調べよう。

  S-T=a(a^2-[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S-T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>√[ニ]である。またa>0のときのS-Tの増減を調べると、S-Tはa=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

③[カ]までで、直線lの式をaで表すことができました。

「直線lとx軸との交点Qの座標」は、x軸上なのでy=0で解きます。

0=ax-(1/2)a^2
-ax=-(1/2)a^2
  x=(1/2)a
   =a/2

つまり、Q(a/2,0)です。


ちなみに、y軸上ならx=0であることも忘れずに!


次は「点Qを通り直線lに垂直な直線をm」とするとあります。

直線の垂直条件は、★mm'=-1でしたね。

これはつまり、片方の直線の傾きの符号を変えて逆数にすると、垂直な直線の傾きになる。ということを意味しています。

lの傾き(=微分係数)はaなので、直線mの傾きは-1/aとなります。

これが点Q(a/2,0)を通るので、再び直線の式に代入して、

y-0=(-1/a)(x-a/2)
  y=(-1/a)x+1/2

よって、[ケコ]=-1,[サ]=a,[シ]=1,[ス]=2


次の記事→⑤[ソ]まで

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