2015年センター数学2B第2問 ⑤[ソ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第2問の[ソ]までを解説します。


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★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x-(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS-Tの値について調べよう。

  S-T=a(a^2-[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S-T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>√[ニ]である。またa>0のときのS-Tの増減を調べると、S-Tはa=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

次に「直線mとy軸との交点をAとする」「三角形APQの面積をSとおく」とあります。

座標平面上の三角形の面積を求めるには、まず頂点の座標を求めるのが基本です。

P(a,(1/2)a^2),Q(a/2,0)はわかっているので、Aの座標を求めます。

Aはy軸との交点なのでy切片です。
m:y=(-1/a)x+1/2なので、A(0,1/2)です。

いくつか考え方がありますが、Pからx軸に垂線を下ろして、y軸,x軸,直線lで囲まれた台形から、不要な三角形を引くのが一番わかりやすいと思います。

そうすると、上底+下底・・・y軸+垂線、高さ・・・x軸となるので、台形は、

(1/2+a^2/2)×a×1/2=(1/4)(a+a^3)

となります。
不要な三角形は、左下が(1/2)×(a/2)×1/2=a/8で、
右下が、(a/2)×(a^2/2)×1/2=a^3/8です。

これらの不要な三角形を台形から引きます。

S=(1/4)(a+a^3)-a/8-a^3/8
 =(1/8)(2a+2a^3)-a/8-a^3/8
 =(1/8)(a+a^3)

あとは解答の形式に合わせると、

 =a(a^2+1)/8

となります。よって、[セ]=1,[ソ]=8


次の記事→⑥[チツ]まで

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