2015年センター数学2B第2問 ⑥[チツ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第2問の[チツ]までを解説します。


2015年センター数学2B第2問ここまでの記事→①[イ]まで②[エ]まで③[カ]まで④[ス]まで⑤[ソ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x-(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS-Tの値について調べよう。

  S-T=a(a^2-[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S-T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>√[ニ]である。またa>0のときのS-Tの増減を調べると、S-Tはa=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

そして、Tは「y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積」です。

これは図形の境界線に曲線を含んでいます。
このような場合は、積分を利用します。

積分は微分の逆で、ある関数を積分すると、その関数とx軸との間の面積が出ます。

つまり、曲線Cの式を積分すると、曲線Cとx軸との間の面積が出る。
というわけです。

なお、このときの積分の区間は、図形の存在するx座標の範囲になります。

また、グラフを描いてよく見てみると、Tの部分は、先ほど⑤[ソ]までで考えた台形から曲線Cの下側を引いたものになることがわかると思います。

台形の面積は先ほど出しているので、曲線Cを積分して引けばOK!ですね!

∫[0~a]{(1/2)x^2}dx=[(1/6)x^3][0~a]
            =(1/6)a^3

これを台形から引いて、

 (1/4)(a+a^3)-(1/6)a^3
=(3/12)(a+a^3)-(2/12)a^3
=(3/12)a+(1/12)a^3

解答の形式に合わせると、

=a(a^2+3)/12

よって、[タ]=3,[チツ]=12


次の記事→⑦[ヌ]まで

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