2015年センター数学2B第2問 ⑦[ヌ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第2問の[ヌ]までを解説します。


2015年センター数学2B第2問ここまでの記事→①[イ]まで②[エ]まで③[カ]まで④[ス]まで⑤[ソ]まで⑥[チツ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x-(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS-Tの値について調べよう。

  S-T=a(a^2-[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S-T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>√[ニ]である。またa>0のときのS-Tの増減を調べると、S-Tはa=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

最後はS-Tについて考えます。
まずはそのまま引いてみましょう!

S-T=a(a^2+1)/8-a(a^2+3)/12
   =a(3a^2+3)/24-a(2a^2+6)/24 ←通分した
   =(a/24)(3a^2+3-2a^2-6)     ←a/24でくくった
   =a(a^2-3)/24

よって、[テ]=3,[トナ]=24

さらに、S-T>0と言っているので、

a(a^2-3)/24>0
   a(a^2-3)>0

a>0だから、そのまま両辺をaで割って、

a^2-3>0
(a+√3)(a-√3)>0
∴a<-√3,a>√3

a>0なので、a>√3

よって、[ヌ]=3


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