2015年センター数学2B第2問 ⑧最後まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第2問の最後までを解説します。


2015年センター数学2B第2問ここまでの記事→①[イ]まで②[エ]まで③[カ]まで④[ス]まで⑤[ソ]まで⑥[チツ]まで⑦[ヌ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x-(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS-Tの値について調べよう。

  S-T=a(a^2-[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S-T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>√[ニ]である。またa>0のときのS-Tの増減を調べると、S-Tはa=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

いよいよ最後の最後です。
S-Tの増減を調べます。
関数の増減といえば、導関数。増減表。ですね!

(S-T)'={(a^3-3a)/24}'
     =3a^2/24-3/24
     =a^2/8-1/8
     =(1/8)(a^2-1)
     =(1/8)(a+1)(a-1)=0
∴、a=-1,1

導関数の値がゼロのときがa=-1,1なので、a=-1,1のときに(S-T)は極値をとることを意味しています。

S-Tは、a^3の係数が正の数なので、全体として右上がりのグラフになり、a=-1のときが極大、a=1のときが極小になります。

そして、a>0なので、極小が最小になります。

a=1を代入して、極小値(=最小値)を求めてみましょう!

S-T=(1^3-3×1)/24
   =-2/24
   =-1/12

これが極小値であり、a>0の範囲での最小値となります。

よって、[ネノ]=-1,[ハヒ]=12

ちなみに、この記事では増減表は省略しました。ご了承ください。


次の記事→⑧解答一覧と公式・性質

トップページ


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html

vol.281の記事を分割してお送りしています。
1回にまとめてご覧になりたい方は、該当する回を含む月のバックナンバーをご購入ください。


-----------------------------
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
 かかる費用は授業料と教材費(定価)のみ!生徒募集中です!

プロ家庭教師の江間です。     AE個別学習室
http://www.a-ema.com/k/      http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------

この記事へのコメント