2015年センター数学2B第2問 ⑧解答一覧と公式・性質

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第2問の解答一覧と公式・性質を掲載します。


2015年センター数学2B第2問の解説→①[イ]まで②[エ]まで③[カ]まで④[ス]まで⑤[ソ]まで⑥[チツ]まで⑦[ヌ]まで⑧最後まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x-(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS-Tの値について調べよう。

  S-T=a(a^2-[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S-T>0となるようなaのとり得る値の範囲はa>√[ニ]である。またa>0のときのS-Tの増減を調べると、S-Tはa=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解答一覧

[ア]=a,[イ]=2,[ウ]=0,[エ]=a,[オ]=a,[カ]=2,[キ]=a,
[ク]=2,[ケコ]=-1,[サ]=a,[シ]=1,[ス]=2,[セ]=1,
[ソ]=8,[タ]=3,[チツ]=12,[テ]=3,[トナ]=24,[ニ]=3,
[ヌ]=1,[ネノ]=-1,[ハヒ]=12


■ 今回の公式・定理・性質など

★ 微分の計算y=x^nならば、y'=nx^(n-1)
★ 定数を微分すると0
★ 積分の計算方法:次数を1上げて、新しい次数で割る
★ 定積分∫[a~b]x^ndx=[{1/(n+1)}x^(n+1)][a~b]
  ={1/(n+1)}b^(n+1)-{1/(n+1)}a^(n+1)
★ y-y1=m(x-x1)
★ 微分は接線の傾きを表す
★ 直線の垂直条件:mm'=-1
★ 積分はグラフとx軸との間の面積を表す


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