2015年センター数学2B第3問 ④[サ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第3問の[サ]までを解説します。

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■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第3問

 自然数nに対し、2^nの一の位の数をanとする。また数列{bn}は
  b1=1,bn+1=(an・bn)/4 (n=1,2,3,…)………{1}

を満たすとする。

(1) a1=2,a2=[ア],a3=[イ],a4=[ウ],a5=[エ]である。このことから、すべての自然数nに対して、a[オ]=anとなることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから一つ選べ。

{0}5n  {1}4n+1  {2}n+3  {3}n+4  {4}n+5


(2) 数列{bn}の一般項を求めよう。{1}を繰り返し用いることにより

  bn+4=(an+3・an+2・an+1・an/2^[カ])bn (n=1,2,3,…)

が成り立つことがわかる。ここで、an+3・an+2・an+1・an=3・2^[キ]であることから、bn+4=([ク]/[ケ])bnが成り立つ。このことから、自然数kに対して

b4k-3=([コ]/[サ])^(k-1),b4k-2=([シ]/[ス])([コ]/[サ])^(k-1)
b4k-1=([セ]/[ソ])([コ]/[サ])^(k-1),b4k=([コ]/[サ])^(k-1)

である。


(3) Sn=Σ[j=1~n]bjとおく。自然数mに対して

  S4m=[タ]([コ]/[サ])^m-[チ]

である。

(4) 積b1b2…bnをTnとおく。自然数kに対して

b4k-3・b4k-2・b4k-1・b4k=(1/[ツ])([コ]/[サ])^[テ](k-1)

であることから、自然数mに対して

  T4m=(1/[ツ]^m)([コ]/[サ])^([ト]m^2-[ナ]m)

である。また、T10を計算すると、T10=3^[ニ]/2^[ヌネ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

bn+4とbnの関係式ができました。
この式を使えば、いろいろなことを表せそうですね。

bn+4=(3/2)bnは、何を意味しているかというと、

「bnは、項数が4つ増える度に3/2倍する」

です。
この関係は、nがどんな値をとったときでも成り立つはずです。
ならば、b4k-3にも当てはめてみましょう!

b4k-3=(3/2)b4k-7

このようになりました。
b4k-7は、b4k-3の4つ前の項です。
だから、3/2を掛けるとb4k-3と等しくなります。

さらに4つ前の項はどうでしょうか?

b4k-3=(3/2)b4k-7=(3/2)^2・b4k-11

ですね。

これはつまり、4項前に戻るごとに(3/2)を掛けていくことを示しています。
最初は3/2の0乗と考えられるので、

(3/2)^0・b4(k-0)-3=(3/2)^1・b4(k-1)-3=(3/2)^2・b4(k-2)-3・・・

と表す事ができます。

この調子で、k番目を表してみると、

・・・=(3/2)^(k-1)・b4{k-(k-1)}-3

ですね。
最初が0なので、k番目がk-1乗などになります。

これを少し簡単にしてみると、

   =(3/2)^(k-1)・b4-3
   =(3/2)^(k-1)・b1
   =(3/2)^(k-1)      ←b1=1

よって、[コ]=3,[サ]=2


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