2015年センター数学2B第3問 ⑧[ナ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第3問の[ナ]までを解説します。

2015年センター数学2B第3問ここまでの記事→①[オ]まで②[カ]まで③[ケ]まで④[サ]まで⑤[ソ]まで⑥[チ]まで⑦[テ]まで






★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第3問

 自然数nに対し、2^nの一の位の数をanとする。また数列{bn}は
  b1=1,bn+1=(an・bn)/4 (n=1,2,3,…)………{1}

を満たすとする。

(1) a1=2,a2=[ア],a3=[イ],a4=[ウ],a5=[エ]である。このことから、すべての自然数nに対して、a[オ]=anとなることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから一つ選べ。

{0}5n  {1}4n+1  {2}n+3  {3}n+4  {4}n+5


(2) 数列{bn}の一般項を求めよう。{1}を繰り返し用いることにより

  bn+4=(an+3・an+2・an+1・an/2^[カ])bn (n=1,2,3,…)

が成り立つことがわかる。ここで、an+3・an+2・an+1・an=3・2^[キ]であることから、bn+4=([ク]/[ケ])bnが成り立つ。このことから、自然数kに対して

b4k-3=([コ]/[サ])^(k-1),b4k-2=([シ]/[ス])([コ]/[サ])^(k-1)
b4k-1=([セ]/[ソ])([コ]/[サ])^(k-1),b4k=([コ]/[サ])^(k-1)

である。


(3) Sn=Σ[j=1~n]bjとおく。自然数mに対して

  S4m=[タ]([コ]/[サ])^m-[チ]

である。

(4) 積b1b2…bnをTnとおく。自然数kに対して

b4k-3・b4k-2・b4k-1・b4k=(1/[ツ])([コ]/[サ])^[テ](k-1)

であることから、自然数mに対して

  T4m=(1/[ツ]^m)([コ]/[サ])^([ト]m^2-[ナ]m)

である。また、T10を計算すると、T10=3^[ニ]/2^[ヌネ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

T4mは、和のときと同じように、4つの項をひとまとまりとして考えていくとよいと思います。

⑦[テ]までより、連続する4つの項を掛けると(1/4)(3/2)^4(k-1)となります。
とりあえず、いくつか具体例を書いていってみましょう。

m=1のとき、(1/4)(3/2)^4(1-1)=(1/4)(3/2)^4×0
m=2のとき、(1/4)(3/2)^4(2-1)=(1/4)(3/2)^4×1
m=3のとき、(1/4)(3/2)^4(3-1)=(1/4)(3/2)^4×2

このようになっていくので、これらをmまで掛けていくと・・・

 {(1/4)(3/2)^4×0}{(1/4)(3/2)^4×1}・・・{(1/4)(3/2)^4(m-1)}

これを簡潔にまとめなければいけません。
少し分析してみると、(1/4)の部分はm回掛けることになります。

(3/2)の部分は、4×0乗から順に4(m-1)乗まで掛けていきます。
ということは、指数の計算法則により、指数の部分は足し算になりますね。

0からm-1までの和は、{(0+m-1)/2}×m=(m^2-m)/2であり、
指数は、これの4倍なので、4(m^2-m)/2=2m^2-2m
これらをまとめると、

T4m=(1/4^m)(3/2)^(2m^2-2m)

よって、[ツ]=4,[ト]=2,[ナ]=2


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