2015年センター数学2B第3問 ⑨最後まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第3問の最後までを解説します。

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★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2015年センター試験数2Bより

第3問

 自然数nに対し、2^nの一の位の数をanとする。また数列{bn}は
  b1=1,bn+1=(an・bn)/4 (n=1,2,3,…)………{1}

を満たすとする。

(1) a1=2,a2=[ア],a3=[イ],a4=[ウ],a5=[エ]である。このことから、すべての自然数nに対して、a[オ]=anとなることがわかる。[オ]に当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから一つ選べ。

{0}5n  {1}4n+1  {2}n+3  {3}n+4  {4}n+5


(2) 数列{bn}の一般項を求めよう。{1}を繰り返し用いることにより

  bn+4=(an+3・an+2・an+1・an/2^[カ])bn (n=1,2,3,…)

が成り立つことがわかる。ここで、an+3・an+2・an+1・an=3・2^[キ]であることから、bn+4=([ク]/[ケ])bnが成り立つ。このことから、自然数kに対して

b4k-3=([コ]/[サ])^(k-1),b4k-2=([シ]/[ス])([コ]/[サ])^(k-1)
b4k-1=([セ]/[ソ])([コ]/[サ])^(k-1),b4k=([コ]/[サ])^(k-1)

である。


(3) Sn=Σ[j=1~n]bjとおく。自然数mに対して

  S4m=[タ]([コ]/[サ])^m-[チ]

である。

(4) 積b1b2…bnをTnとおく。自然数kに対して

b4k-3・b4k-2・b4k-1・b4k=(1/[ツ])([コ]/[サ])^[テ](k-1)

であることから、自然数mに対して

  T4m=(1/[ツ]^m)([コ]/[サ])^([ト]m^2-[ナ]m)

である。また、T10を計算すると、T10=3^[ニ]/2^[ヌネ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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■ 解説

そして、T10を計算してみましょう。

T10=b1・b2・b3・b4・b5・b6・b7・b8・b9・b10

ですね。
T4mを使って少し書き換えると、

  =T8・b9・b10

このようになります。
bnは4項ごとに周期的に変わるので、

  =T4×2・b1・(3/2)^2・b2・(3/2)^2

このように表すことができます。
あとは計算するだけですね!

  =(1/4^2)(3/2)^(8-4)・(3/2)^2・(1/2)(3/2)^2
  =(1/2^4)(1/2)・(3/2)^4・(3/2)^2・(3/2)^2
  =(1/2^5)(3/2)^8
  =3^8/2^(5+8)
  =3^8/2^13

よって、[ニ]=8,[ヌネ]=13


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