2015年センター数学2B第4問 ①[エ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第4問の[エ]までを解説します。


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★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第4問

 1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、∠AOC=120°とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。
    →  →  →  →
以下、OA=a,OB=bとおく。
                  →        →       →
(1) 三角形OPQの面積を求めよう。OP=([ア]/[イ])a+([ウ]/[イ])bである。実数tを用いて
→      →   →         →     → →
OQ=(1-t)OB+tOCと表されるので、OQ=[エ]ta+bである。
    → →        →  →
ここで、a・b=[オ]/[カ],OP・OQ=[キ]であることから、t=[ク]/[ケ]である。
           →          →
 これらのことから、|OP|=√[コ]/[サ],|OQ|=√[シス]/[セ]である。
よって、三角形OPQの面積S1は、S1=[ソ]√[タ]/[チツ]である。

(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。OTをaとbを用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。

 Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r,sを用いて
    →   →      →   →
   OT=rOR=(1-s)OP+sOQ

と表すと、r=[テ]/[ト],s=[ナ]/[ニ]となることがわかる。よって、
→          →       →
OT=([ヌネ]/[ノハ])a+([ヒ]/[フ])bである。

 上で求めたr,sの値から、三角形OPQの面積S1と、三角形PRTの面積S2との比は、S1:S2=[ヘホ]:2である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

2015年も、数学2B第4問はベクトルの問題が出題されました。

ベクトルでは特に、実際に図を描く事が大切です。
文章だけを見て「全然わからない」と思っていた事も、ちゃんと図を描くと簡単に解決するかも知れませんよ!

さて、今回の問題ではまず「1辺の長さが1のひし形OABC」と言っています。
ひし形ということは、4辺の長さが等しい平行四辺形ですね。

そして「∠AOC=120°」と言っています。
∠AOC=120°ならば、その対角の∠ABCも120°で、残りの2角はともに60°になります。

さらに、点Pは「辺ABを2:1に内分する点」で、点Qは「直線BC上にOP⊥OQとなるように」とった点です。

これらの条件を確認しながら、しっかり図を描いてください。


では、今回の設問を見ていきます。

→  →  →  →
OA=a,OB=bとおく。

とあります。
この平面上のベクトルは、全てこのa,bを使って表すことができるという意識は常に持っておくようにしましょう!
       →  → →
まず最初は、OPをa,bで表します。

点Pは「辺ABを2:1に内分する点」なので、aとbを使って、内分の公式を利用することができます。(公式を使わなくてもできます)
    →  →
★ (na+mb)/(m+n)

これにm=2,n=1を代入すると、
  →  →           →     →
(2a+1b)/(2+1)=(2/3)a+(1/3)b

よって、[ア]=2,[イ]=3,[ウ]=1


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