2015年センター数学2B第4問 ⑤[ケ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第4問の[ケ]までを解説します。


2015年センター数学2B第4問ここまでの記事→①[ウ]まで②比の表し方③[エ]まで④[キ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第4問

 1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、∠AOC=120°とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。
    →  →  →  →
以下、OA=a,OB=bとおく。
                  →        →       →
(1) 三角形OPQの面積を求めよう。OP=([ア]/[イ])a+([ウ]/[イ])bである。実数tを用いて
→      →   →         →     → →
OQ=(1-t)OB+tOCと表されるので、OQ=[エ]ta+bである。
    → →        →  →
ここで、a・b=[オ]/[カ],OP・OQ=[キ]であることから、t=[ク]/[ケ]である。
           →          →
 これらのことから、|OP|=√[コ]/[サ],|OQ|=√[シス]/[セ]である。
よって、三角形OPQの面積S1は、S1=[ソ]√[タ]/[チツ]である。

(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。OTをaとbを用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。

 Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r,sを用いて
    →   →      →   →
   OT=rOR=(1-s)OP+sOQ

と表すと、r=[テ]/[ト],s=[ナ]/[ニ]となることがわかる。よって、
→          →       →
OT=([ヌネ]/[ノハ])a+([ヒ]/[フ])bである。

 上で求めたr,sの値から、三角形OPQの面積S1と、三角形PRTの面積S2との比は、S1:S2=[ヘホ]:2である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

ここまでわかったことを用いて、tの値を求めてみましょう!
→ →  →  →
a・bとOP・OQなどを求めたことがヒントになっています。

これらのベクトルの積ができるように、今までの式を利用する。と考えてもよいですし、ベクトルは内積になるとスカラーの扱いになるので、内積ができるようにそこまでの式を扱う。と考えられればより良いです。

では、OPの式とOQの式を掛けあわせてみましょう!
  →  →
 OP・OQ
={(1/3)a+(2/3)b}・(-ta+b)
=-(1/3)t|a|^2+(1/3)a・b-(2/3)ta・b+(2/3)|b|^2
→    → →      →
|a|=1,a・b=1/2,|b|=1なので、

=-(1/3)t+(1/3)(1/2)-(2/3)(1/2)t+2/3
=-(1/3)t-(1/3)t+1/6+2/3
=-(2/3)t+(1+4)/6
=-(2/3)t+5/6

OP・OQ=0なので、

-(2/3)t+5/6=0
     (2/3)t=5/6
         t=(5/6)×(3/2)
         t=5/4

よって、[ク]=5,[ケ]=4


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