2015年センター数学2B第4問 ⑥[セ]まで

この記事では、2015年大学入試センター試験数学2B第4問の[セ]までを解説します。


2015年センター数学2B第4問ここまでの記事→①[ウ]まで②比の表し方③[エ]まで④[キ]まで⑤[ケ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

第4問

 1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、∠AOC=120°とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点QをOP⊥OQとなるようにとる。
    →  →  →  →
以下、OA=a,OB=bとおく。
                  →        →       →
(1) 三角形OPQの面積を求めよう。OP=([ア]/[イ])a+([ウ]/[イ])bである。実数tを用いて
→      →   →         →     → →
OQ=(1-t)OB+tOCと表されるので、OQ=[エ]ta+bである。
    → →        →  →
ここで、a・b=[オ]/[カ],OP・OQ=[キ]であることから、t=[ク]/[ケ]である。
           →          →
 これらのことから、|OP|=√[コ]/[サ],|OQ|=√[シス]/[セ]である。
よって、三角形OPQの面積S1は、S1=[ソ]√[タ]/[チツ]である。

(2) 辺BCを1:3に内分する点をRとし、直線ORと直線PQとの交点をTとする。OTをaとbを用いて表し、三角形OPQと三角形PRTの面積比を求めよう。

 Tは直線OR上の点であり、直線PQ上の点でもあるので、実数r,sを用いて
    →   →      →   →
   OT=rOR=(1-s)OP+sOQ

と表すと、r=[テ]/[ト],s=[ナ]/[ニ]となることがわかる。よって、
→          →       →
OT=([ヌネ]/[ノハ])a+([ヒ]/[フ])bである。

 上で求めたr,sの値から、三角形OPQの面積S1と、三角形PRTの面積S2との比は、S1:S2=[ヘホ]:2である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

⑤[ケ]までで、t=5/4がわかったので、今まで不明だった部分がいろいろと明らかになります。

OQ=-ta+b=-(5/4)a+b

ベクトルの絶対値=長さを求めるには、一般に、2乗します。
2乗すると、ベクトルは方向の情報が失われ、長さの情報だけを抽出できる。といえます。

|OQ|^2={-(5/4)a+b}^2
    =(25/16)|a|^2-(5/2)a・b+|b|^2
    =(25/16)-(5/2)(1/2)+1
    =(25/16)-5/4+1
    =(25-20+16)/16
    =21/16

∴|OQ|=√21/4

OPも2乗してみましょう。

|OP|^2={(2/3)a+(1/3)b}^2
    =(4/9)|a|^2+(4/3)a・b+(1/9)|b|^2
    =4/9+(4/9)(1/2)+1/9
    =5/9+2/9
    =7/9

∴|OP|=√7/3

よって、[コ]=7,[サ]=3,[シス]=21,[セ]=4


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