2015年センター数学２Ｂ第４問ここまでの記事→①[ウ]まで、②比の表し方、③[エ]まで、④[キ]まで、⑤[ケ]まで、⑥[セ]まで、⑦[チツ]まで
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■ 問題
第４問
１辺の長さが１のひし形ＯＡＢＣにおいて、∠ＡＯＣ＝120°とする。辺ＡＢを２：１に内分する点をＰとし、直線ＢＣ上に点ＱをＯＰ⊥ＯＱとなるようにとる。
→ → → →
以下、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂとおく。
→ → →
(1) 三角形ＯＰＱの面積を求めよう。ＯＰ＝([ア]／[イ])ａ＋([ウ]／[イ])ｂである。実数ｔを用いて
→ → → → → →
ＯＱ＝(１－ｔ)ＯＢ＋ｔＯＣと表されるので、ＯＱ＝[エ]ｔａ＋ｂである。
→ → → →
ここで、ａ・ｂ＝[オ]／[カ]，ＯＰ・ＯＱ＝[キ]であることから、ｔ＝[ク]／[ケ]である。
→ →
これらのことから、|ＯＰ|＝√[コ]／[サ]，|ＯＱ|＝√[シス]／[セ]である。
よって、三角形ＯＰＱの面積Ｓ1は、Ｓ1＝[ソ]√[タ]／[チツ]である。
(2) 辺ＢＣを１：３に内分する点をＲとし、直線ＯＲと直線ＰＱとの交点をＴとする。ＯＴをａとｂを用いて表し、三角形ＯＰＱと三角形ＰＲＴの面積比を求めよう。
Ｔは直線ＯＲ上の点であり、直線ＰＱ上の点でもあるので、実数ｒ，ｓを用いて
→ → → →
ＯＴ＝ｒＯＲ＝(１－ｓ)ＯＰ＋ｓＯＱ
と表すと、ｒ＝[テ]／[ト]，ｓ＝[ナ]／[ニ]となることがわかる。よって、
→ → →
ＯＴ＝([ヌネ]／[ノハ])ａ＋([ヒ]／[フ])ｂである。
上で求めたｒ，ｓの値から、三角形ＯＰＱの面積Ｓ1と、三角形ＰＲＴの面積Ｓ2との比は、Ｓ1：Ｓ2＝[ヘホ]：２である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
■ おすすめ問題集
2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
では(2)です。
点ＲとＴが登場します。
Ｒは「辺ＢＣを１：３に内分する点」で、Ｔは「直線ＯＲと直線ＰＱとの交点」です。
問題にも書いてありますが、ＴはＯＲとＰＱの交点なので、「Ｔは直線ＯＲ上の点であり、直線ＰＱ上の点でもある」ということができます。
→ →
ならばまず、ＯＴ＝ｒＯＲと表す事ができます。
さらに、ＴはＰＱをｓ：１－ｓに内分するので、
→ → →
ＯＴ＝(１－ｓ)ＯＰ＋ｓＯＱと表す事ができます。
すでに求めてあるＯＰ，ＯＱを代入すると、
→ → → → →
ＯＴ＝(１－ｓ){(２／３)ａ＋(１／３)ｂ}＋ｓ{－(５／４)ａ＋ｂ}
ＲはＢＣを１：３に内分するので、
→ → →
ＯＲ＝(３ＯＢ＋ＯＣ)／４
＝(３ｂ－ａ＋ｂ)／４
→ →
＝(－ａ＋４ｂ)／４
まずは、ａ，ｂでいろいろなものを表すことができました。
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