2018年センター数学1A第4問 ⑦別の考え方

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第4問の別の考え方を解説します。


2018年センター数学1A第4問ここまでの記事→①[ウ]まで②[エオ]まで③[キク]まで④[コサシ]まで⑤[ス]まで⑥[セソ]まで





★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第4問

(1) 144を素因数分解すると

   144=2^[ア]×[イ]^[ウ]

であり、144の正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) 不定方程式

   144x-7y=1

の整数解x,yの中で、xの絶対値が最小になるのは

   x=[カ],y=[キク]

であり、すべての整数解は、kを整数として

   x=[ケ]k+[カ],y=[コサシ]k+[キク]

と表される。

(3) 144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数のうち、正の約数の個数が18個で最小のものは144×[ス]であり、正の約数の個数が30個である最小のものは144×[セソ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

⑤[ス]まで⑥[セソ]まででは、最もノーマルと思われる方法で解説しましたが、他の考え方も可能です。

例えば、[ス]の方は、不定方程式を考えなくても、

「144の倍数だから、144,288,432,・・・」

というように、単純に倍数を考えて素因数分解をするだけで、すぐに[ス]=2を見つけることができますね。

[セソ]の方は、不定方程式を活用しないと探すのが大変ですが、「約数が30個」という条件から、調べる数字の回数を減らすことができます。

144=2^4×3^2で、この時点で約数が15個だから、2と3以外の因数が一つだけ増えれば、約数が30個になる。と考えることができます。

2^4×3^2×nとなれば、約数の個数は(5×3×2)=30となりますね。

ということは、144に素数を一つだけかければ良い。ということになります。

5,7,11,13,17,19,23

の場合それぞれ、「7で割って1余る」かどうかを調べていくことで見つけることができます。

さらに、不定方程式とこの考え方を組み合わせれば、一発でx=23を見つけられてますね!


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