2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ
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■ 問題
2018年センター試験数1Aより
第5問
△ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} < {1} = {2} > {3} A {4} C
その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Dは△ABFの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
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2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
次に「∠Aの二等分線と辺BCとの交点をD」として、BDの長さを聞いています。
DはBC上の点なので、BCをある特定の割合で分けるはずですね?
そこで、①BCの長さで求めたBC=√5を活用することができるのです。
次に「∠Aの二等分線」に注目してください。
三角形の角の二等分線に関する性質が何かありましたね?それは・・・
★ 頂角の二等分線は、底辺を左右の辺の長さと同じ比に分ける
という性質です。
「△ABCにおいて、AB=2,AC=1」だったので、DはBCを2:1に分けるのです。
√5を2:1に分けると・・・
BD=2√5/3,CD=√5/3ですね!
よって、[ア]=2,[イ]=5,[ウ]=3
次の記事→③[ケ]まで
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