2018年センター数学1A第5問 ③[ケ]まで

この記事では、2018年大学入試センター試験数学1A第5問の[ケ]までを解説します。


2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ②[ウ]まで






★「青本」2019年数学★「赤本」2019年数学


■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第5問

 △ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。

 ∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。

 点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。

 次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。

 BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。

{0} <  {1} =  {2} >  {3} A  {4} C

 その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。

 次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。

 点Dは△ABFの[タ]。

{0} 外心である  {1} 内心である  {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。


■ おすすめ問題集

2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。




■ 解説

次は、

 点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。

このように言っています。

ここまでを図で表すと、次のようになります。

参考図

この図において、AB=2,AC=1,BD=2√5/3,∠A=90°,ADは∠Aの二等分線→BD:DC=2:1がわかっています。

この条件で、AB・BEを求めたい。というわけです。

そんなときは・・・「方べきの定理」ですね。

2本の直線が円との交点で分けられたとき、線分の長さの積が等しくなる。という定理です。これは中学数学の相似な図形の応用です。

相似で考えてみると・・・
EとDを結ぶと、△BED∽△BADなので、「対応する辺の比が等しい」ことから等式を作ることができます。

でも、「相似」と見るよりも「方べきの定理」と見た方が立式や計算が簡単なので、現在の高校数学では主に方べきの定理を使うことになっています。

今回の図では、方べきの定理より、AB・BE=BD^2という式を作ることができます。

BD=2√5/3を代入して、

AB・BE=(2√5/3)^2
     =4・5/9
     =20/9

AB=2なので、

2BE=20/9
 BE=10/9

よって、[エオ]=20,[カ]=9,[キク]=10,[ケ]=9


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