2018年センター数学１Ａ第５問ここまでの記事→①ＢＣの長さ、②[ウ]まで
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■ 問題
2018年センター試験数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝２，ＡＣ＝１，∠Ａ＝９０°とする。
∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると、ＢＤ＝([ア]√[イ])／[ウ]である。
点Ａを通り点Ｄで辺ＢＣに接する円と辺ＡＢとの交点でＡと異なるものをＥとすると、ＡＢ・ＢＥ＝[エオ]／[カ]であるから、ＢＥ＝[キク]／[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}～{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
ＢＥ／ＢＤ[コ]ＡＢ／ＢＣであるから、直線ＡＣと直線ＤＥの交点は辺ＡＣの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ {3} Ａ {4} Ｃ
その交点をＦとすると、ＣＦ／ＡＦ＝[シ]／[ス]であるから、ＣＦ＝[セ]／[ソ]である。したがって、ＢＦの長さが求まり、ＣＦ／ＡＣ＝ＢＦ／ＡＢであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}～{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Ｄは△ＡＢＦの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。
■ おすすめ問題集
2017年の大学入試センター試験数学１Ａ２Ｂを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
次は、
点Ａを通り点Ｄで辺ＢＣに接する円と辺ＡＢとの交点でＡと異なるものをＥとすると、ＡＢ・ＢＥ＝[エオ]／[カ]であるから、ＢＥ＝[キク]／[ケ]である。
このように言っています。
ここまでを図で表すと、次のようになります。
参考図
この図において、ＡＢ＝２，ＡＣ＝１，ＢＤ＝２√５／３，∠Ａ＝９０°，ＡＤは∠Ａの二等分線→ＢＤ：ＤＣ＝２：１がわかっています。
この条件で、ＡＢ・ＢＥを求めたい。というわけです。
そんなときは・・・「方べきの定理」ですね。
２本の直線が円との交点で分けられたとき、線分の長さの積が等しくなる。という定理です。これは中学数学の相似な図形の応用です。
相似で考えてみると・・・
ＥとＤを結ぶと、△ＢＥＤ∽△ＢＡＤなので、「対応する辺の比が等しい」ことから等式を作ることができます。
でも、「相似」と見るよりも「方べきの定理」と見た方が立式や計算が簡単なので、現在の高校数学では主に方べきの定理を使うことになっています。
今回の図では、方べきの定理より、ＡＢ・ＢＥ＝ＢＤ^2という式を作ることができます。
ＢＤ＝２√５／３を代入して、
ＡＢ・ＢＥ＝(２√５／３)^2
＝４・５／９
＝２０／９
ＡＢ＝２なので、
２ＢＥ＝２０／９
ＢＥ＝１０／９
よって、[エオ]＝２０，[カ]＝９，[キク]＝１０，[ケ]＝９
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