2018年センター数学1A第5問ここまでの記事→①BCの長さ、②[ウ]まで
★「青本」2019年数学 | ★「赤本」2019年数学 |
■ 問題
2018年センター試験数1Aより
第5問
△ABCにおいて、AB=2,AC=1,∠A=90°とする。
∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、BD=([ア]√[イ])/[ウ]である。
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。
次の[コ]には下の{0}~{2}から、[サ]には{3}・{4}から当てはまるものを一つずつ選べ。
BE/BD[コ]AB/BCであるから、直線ACと直線DEの交点は辺ACの端点[サ]の側の延長上にある。
{0} < {1} = {2} > {3} A {4} C
その交点をFとすると、CF/AF=[シ]/[ス]であるから、CF=[セ]/[ソ]である。したがって、BFの長さが求まり、CF/AC=BF/ABであることがわかる。
次の[タ]には下の{0}~{3}から当てはまるものを一つ選べ。
点Dは△ABFの[タ]。
{0} 外心である {1} 内心である {2} 重心である
{3} 外心、内心、重心のいずれでもない
※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。
■ おすすめ問題集
2017年の大学入試センター試験数学1A2Bを詳細に解説しました。今回の問題にも活用できる項目があります。
■ 解説
次は、
点Aを通り点Dで辺BCに接する円と辺ABとの交点でAと異なるものをEとすると、AB・BE=[エオ]/[カ]であるから、BE=[キク]/[ケ]である。
このように言っています。
ここまでを図で表すと、次のようになります。
参考図
この図において、AB=2,AC=1,BD=2√5/3,∠A=90°,ADは∠Aの二等分線→BD:DC=2:1がわかっています。
この条件で、AB・BEを求めたい。というわけです。
そんなときは・・・「方べきの定理」ですね。
2本の直線が円との交点で分けられたとき、線分の長さの積が等しくなる。という定理です。これは中学数学の相似な図形の応用です。
相似で考えてみると・・・
EとDを結ぶと、△BED∽△BADなので、「対応する辺の比が等しい」ことから等式を作ることができます。
でも、「相似」と見るよりも「方べきの定理」と見た方が立式や計算が簡単なので、現在の高校数学では主に方べきの定理を使うことになっています。
今回の図では、方べきの定理より、AB・BE=BD^2という式を作ることができます。
BD=2√5/3を代入して、
AB・BE=(2√5/3)^2
=4・5/9
=20/9
AB=2なので、
2BE=20/9
BE=10/9
よって、[エオ]=20,[カ]=9,[キク]=10,[ケ]=9
次の記事→④[ソ]まで
トップページ
【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
vol.387の記事を分割してお送りしています。
1回にまとめてご覧になりたい方は、該当する回を含む月のバックナンバーをご購入ください。
-----------------------------
20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
かかる費用は授業料と教材費(定価)のみ!生徒募集中です!
プロ家庭教師の江間です。 AE個別学習室
http://www.a-ema.com/k/ http://www.a-ema.com/j/
-----------------------------
この記事へのコメント